DP解决回文串问题-优快云博客

说到 Palindrome ，wo一般会想到构造，马拉车，dp.
这里我们看一下和dp有关的Palindrome

1.判断一个字符串是否是回文串
dp[i][j]:下标从i到j是否为回文串
状态转移方程为:

if(s[i]==s[j])
dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
else dp[i][j]=0;

2. Cheapest Palindrome POJ - 3280
题意：给你一串字符串，可以插入或者删除，将之变为回文数。插入和删除每个字符都有代价，问你代价和最小的为多少。
d[i][j]:从i到j为回文串花费的最小
状态转移方程：
if(s[i]==s[j]) d[i][j]=d[i+1][j-1];
else d[i][j]=min(d[i][j-1]+add[s[j]],d[i+1][j]+add[s[i]],del[s[i]]+d[i+1][j],del[s[j]]+d[i][j-1]);

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define Min(a,b) (a)>(b)?b:a
const int maxn = 2005;
char s[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int costa[30];
int costd[30];
int n,m;
void solve()
{
    for(int len=1;len<=m;len++)
    {
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int j=i+len-1;
            if(j>=m) break;
            if(len==1) dp[i][j]=0;
            else if(s[i]==s[j]) {if(len==2) dp[i][j]=0;else dp[i][j]=dp[i+1][j-1];}
            else dp[i][j]=Min(Min(dp[i][j-1]+costa[s[j]-'a'],dp[i+1][j]+costa[s[i]-'a']),Min(costd[s[i]-'a']+dp[i+1][j],costd[s[j]-'a']+dp[i][j-1]));
        }
    }
    printf("%d\n",dp[0][m-1]);
}
int main()
{
    memset(dp,INF,sizeof(dp));
    scanf("%d %d",&n,&m);
    scanf("%s",s);
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        char c;
        cin>>c;
        scanf("%d %d",&costa[c-'a'],&costd[c-'a']);
    }
    solve();
    return 0;
}
/*
3 4
aaaa
a 1000 1100
b 350 700
c 200 800
*/

循环还可以这样写（不用初始化dp，快很多）

 for(int j=0;j<m;j++)//枚举串的尾
    {
        for(int i=j-1;i>=0;i--)//往前扫
        {
            if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
            else
            {
                dp[i][j]=dp[i+1][j]+min(costa[s[i]-'a'],costd[s[i]-'a']);
                dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][j-1]+min(costa[s[j]-'a'],costd[s[j]-'a']));
            }
        }
    }

* Palindrome (回文数) poj 1159 LCS*
题意：给你一串字符串，问你最少加多少个字符可以让它变为回文数。
和上题差不多的思想
dp[i][j]:从i到j为回文串的最小代价
状态转移为：
if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];
else dp[i][j]=1+min(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
看一下范围，是5000,如果是int类型的二维数组，会MLE。但是这里的数范围也是5000,可以用short~

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
#define INF 0x3f3f
const int maxn = 5005;
char x[maxn];
short dp[maxn][maxn];
int n;
void solve()
{
    for(int len=1;len<=n;len++)
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int j=i+len-1;
            if(j>=n) break;
            if(len==1) dp[i][j]=0;
            else if(x[i]==x[j]) {if(len==2) dp[i][j]=0;else dp[i][j]=dp[i+1][j-1];}
            else dp[i][j]=1+min(dp[i][j-1],dp[i+1][j]);
        }
    }
    cout<<dp[0][n-1]<<endl;
}
int main()
{
    memset(dp,INF,sizeof(dp));
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",x);
    solve();
    return 0;
}

还有一种做法
ans=字符串的长度-字符串和它的反向字符串的最大公共子序列的长度

因为字符串和它的反向字符串的最大公共子序列的长度k，就等同于在原串中有k个字符是对应相等的。答案就是那些对应不相等的在对应位置添加相同的字符。所以ans=n-k；

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
const int maxn = 5005;
char x[maxn];
char y[maxn];
int dp[5][maxn];
int n;
void solve()
{
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(x[i]==y[j]) dp[(i+1)%2][j+1]=dp[i%2][j]+1;
            else dp[(i+1)%2][j+1]=max(dp[i%2][j+1],dp[(i+1)%2][j]);
        }
    }
    printf("%d\n",n-dp[n%2][n]);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    scanf("%s",x);
    int h=0;
    for(int i=n-1;i>=0;i--)
        y[h++]=x[i];
    solve();
    return 0;
}

codeforces 835D

题意:定义k阶回文串的左边右边为k-1阶回文串，要求所有阶回文串的个数

分析：dp[i][j]:下标从i到j的字符串的阶数。
先判断s[i][j]是不是回文串。如果不是的话 dp[i][j]=0;是的话 dp[i][j]=1+dp[i][i+(j-i+1)/2-1];

这里判断回文串可以用dp，或者马拉车，或者哈希(这个不熟==)

这里是用dp来判断回文的

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

#define LL long long
#define inf 1000000007

const int maxn = 5005;
char s[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int p[maxn][maxn];
int num[maxn];
int main()
{
    scanf("%s",s);
    int slen=strlen(s);
    for(int i=1;i<=slen;i++)//
    {
        for(int j=0;j<slen;j++)
        {
            int bg=j,ed=j+i-1;
            if(i==1) p[bg][ed]=1;
            else if(s[bg]==s[ed]){if(i==2)p[bg][ed]=1;else p[bg][ed]=p[bg+1][ed-1];}
        }
    }
    for(int len=1;len<=slen;len++)
    {
        for(int i=0;i<slen;i++)
        {
            int j=i+len-1;
            if(j>=slen) break;
            int mid=i+(j-i+1)/2-1;
            if(p[i][j])
                dp[i][j]=dp[i][mid]+1;
        }
    }
    num[1]=slen;
    for(int i=0;i<slen;i++)
        for(int j=i+1;j<slen;j++)
            if(dp[i][j]) num[dp[i][j]]++;
    for(int i=slen;i>=1;i--)
        num[i-1]+=num[i];
    for(int i=1;i<=slen;i++)
        printf("%d\n",num[i]);
    return 0;
}