动态规划——做题五步法

前言

今天来看一下动态规划的题目，动态规划，也是经典算法的一种，更是面试常考的算法

究竟什么是动态规划算法呢，下面是DeepSeek选手给出的答案

定义

动态规划是一种 分阶段求解最优化问题 的算法思想，它通过 拆分问题、存储子问题的解（避免重复计算），最终递推得到全局最优解。 

核心思想

• 分治思想：将大问题分解为相互重叠的子问题。

• 记忆化存储：用数组（dp 表）记录子问题的解，避免重复计算。

• 递推求解：通过状态转移方程，从小问题逐步推导大问题的解。

适用场景

动态规划适用于具有以下特征的问题：

1. 最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解。
   （例如：最短路径的子路径也是最短的）

2. 重叠子问题：子问题被重复计算多次。
   （例如：斐波那契数列中 fib(5) 依赖 fib(4) 和 fib(3)，而 fib(4) 又依赖 fib(3)）

今天我要向大家介绍的是做动态规划算法的基本五步（这里是借鉴b站上讲算法的大佬——代码随想录的想法，大家有空可以去看看人家的算法视频），先通过简单题理解如何运用五步法

到了后面的延申题就不至于毫无思路了

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

确定递推公式

dp数组如何初始化

确定遍历顺序

举例推导dp数组

上面的dp数组也算是动态规划里的核心内容吧，就是用他来存储子问题的解

例题

斐波那契数

说了那么多还不如先看看具体题目，咱们具体题目具体分析

原来斐波那契数列也属于动态规划算法，我当初是用递归做的，也没想太多。

递归代码虽然简单，但是复杂度却不尽人意；

斐波那契数列_牛客题霸_牛客网

首先来看看上面的题，题意是求第n个斐波那契数

首先来看看什么是斐波那契数；

就是当n=1，2时，对应的值都是1，当n>2时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)

所以会有

1 1 2 3 5 8 13 21

这些数就是斐波那契数

然后再看看上面的五步法

首先来看看第一步，确定dp数组以及下标的含义

这里求的是斐波那契数，那么dp数组自然是存放斐波那契数的，那么dp[i]就表示为第i个斐波那契数吧；

然后第二步，确定递推公式，其实也就是找规律，看看题目要求的数字有什么规律，这里题目已经给出了，当n>2时，满足f(n)=f(n-1)+f(n-2) 剩下的部分再单独处理

接着是第三步，dp数组如何初始化，那么我们知道，dp[i]表示的是第i个斐波那契数，dp[1]=1,dp[2]=1，那么dp[0]呢？

或许应该等于0，这样刚好就与性质对应上了，逻辑也说得通了

第四步，确定遍历顺序，因为动态规划有些题目会存在从后往前遍历的问题，所以这里也要考究一下遍历顺序的问题，这道题比较基础，值也是从小到大的，所以遍历顺序也是从小到大

第五步举例推导一下，这里我们写个伪代码，试试推导一下逻辑能否成立

vector<int> dp(n+1);
dp[0]=0;
dp[1]=1;
for(int i=2;i<n;i++)//由于0，1都已经做处理了，所以遍历从2开始
{
    dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
}

假设n等于5

dp[3]=2,dp[4]=3,dp[5]=5

似乎和刚刚的手动推导的一样，那我们就把想法变成代码，试试能不能通过

这里正常通过了

时间复杂度是O(n)，似乎还能再优化一下，感觉只维护两个值也行？

这里也是成功的把代码的时间复杂度降到了O(1)

跳台阶

跳台阶_牛客题霸_牛客网

想当初第一次看见这道题，竟毫无思路，现在才知道要先分析一下数据

我们先来看看，这似乎也是斐波那契数列

跳的台阶数       跳法
    1            1
    2            2    
    3            3
    4            5
    5            8

那就简单了  dp数组存放的是跳台阶时可能有的跳法，dp[i]则表示的是第i层台阶总共有的跳法

递推公式也简单 满足f(n)=f(n-1)+f(n-2)就行

初始化的话，由于不存在第0层，直接考虑第一层和第二层

dp[1]=1
dp[2]=2

遍历顺序也是从小到大

最后写个伪代码，简单推导一下

vector<int> dp(n+1)
dp[1]=1;
dp[2]=2;
for(int i=3;i<=n;i++)
{
    dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
}

假如是3层台阶

跳一遍一层，跳一遍两层

跳三遍一层

跳一遍两层，跳一遍一层

刚好是三次，现在验证一下思路

刚好过了

还可以和上面一样，优化一下思路