普通正态分布如何转换到标准正态分布

本文介绍了如何将普通正态分布转换为标准正态分布,提供了转换公式,并通过实例展示了在实际问题中的应用,如计算特定概率和设计公交门高度。

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1.普通正态分布转换标准正态分布公式

我们知道正态分布是由两个参数 μ \mu μ σ \sigma σ确定的。对于任意一个服从 N ( μ , σ 2 ) N(\mu, \sigma^2) N(μ,σ2)分布的随机变量 X X X,经过下面的变换以后都可以转化为 μ = 0 , σ = 1 \mu=0, \sigma=1 μ=0,σ=1的标准正态分布(standard normal distribution)。转换公式为:
z = X − μ σ z = \frac{X-\mu}{\sigma} z=σXμ

2.证明

概率统计的教科书上一般直接给出这个结论,并没有给出相应的证明。下面我们来看看这个结论的推理过程。由于犯懒懒得编辑公式,直接贴截图,证明过程来自参考文献1。
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3.几个应用的例子

3.1 假设公共汽车门的高度按成年男性碰头机会小于1%来设计。又假设成年男性的身高服从正态分布 X ∼ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) XN(170,62),求问车门的高度 h h h为多少?

假设身高这一随机变量为 X X X,那么要求的问题为:
P ( x > h ) = 0.01 P(x > h) = 0.01 P(x>h)=0.01

1 − P ( x ≤ h ) = 0.01 1 - P(x \le h) = 0.01 1P(xh)=0.01
P ( x ≤ h ) = 0.99 P(x \le h) = 0.99 P(xh)=0.99

因为 X ∼ N ( 170 , 6 2 ) X \sim N(170, 6^2) XN(170,62), 所以 h − 170 6 ∼ N ( 0 , 1 ) \frac{h - 170}{6} \sim N(0, 1) 6h170N(0,1)
通过查标准正态分布表可知, P ( z ≤ 2.33 ) = 0.99 P(z \le 2.33) = 0.99 P(z2.33)=0.99
因此h = 170 + 6 * 2.33 = 183.98cm

3.2 现在有一个 μ = 10 \mu = 10 μ=10 σ = 2 \sigma = 2 σ=2的正态随机变量,求x在10与14之间的概率是多少?
当x=10时,z = 0。当x=14时,z = (14-10)/2 = 2。于是,x在10与14之间的概率等价于标准正态分布中0与2之间的概率。
P ( 0 ≤ z ≤ 2 ) = P ( z ≤ 2 ) − P ( z ≤ 0 ) = 0.4772 P(0 \le z \le 2) = P(z \le 2) - P(z \le 0) = 0.4772 P(0z2)=P(z2)P(z0)=0.4772

参考文献:
1.https://www.zhihu.com/question/30121927

### 对数正态分布曲线简介 对数正态分布是一种概率分布在统计学和应用领域广泛应用的重要分布之一。它的特点在于其随机变量的自然对数服从正态分布,即如果 \( Y \) 是一个对数正态分布的随机变量,则 \( X = \ln(Y) \) 服从正态分布。 #### 主要特性 1. **形状**:对数正态分布通常呈现右偏形,长尾延伸至右侧。这是因为数据经过指数变换后会产生这种特征。 2. **两个参数**: - **位置参数 (μ)** :表示转换后的正态分布的平均值,它控制着分布的整体水平位移。 - **尺度参数 (σ)** :对应于转换标准差,决定了分布宽度及峰值的高度和平缓程度。 3. **性质**: - 如果 \( X ∼ N(μ, σ^2) \),那么 \( e^X ∼ Lognormal(μ, σ^2) \) - 概率密度函数表达式为: \[ f(y; μ, σ)=\frac{1}{yσ√{2π}}e^{−(\ln y − μ)^2 / (2σ^2)}, \quad y > 0 \] 4. **应用场景**: - 自然科学和社会经济现象中的许多量都可以用对数正态分布来描述,如人的收入、企业销售额、材料强度测试结果等。 5. **图形示例**: - 当绘制对数坐标系下的频率图时,可以看到近似直线的关系,这有助于识别是否符合对数正态分布假设。 6. **估计参数**: - 可以通过对样本数据进行极大似然估计法或其他统计推断方法获得最佳拟合的位置和尺度参数。 7. **与其它分布的区别** - 和普通正态分布相比,对数正态分布更适合用于那些只允许值并且有明显不对称特性的数据分析。 --- 为了更好地理解对数正态分布的概念及其用途,你可以尝试利用Python库SciPy或者R语言来进行具体的模拟实验并观察不同参数下该种分布的变化规律。
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