从一道简单的题看算法优化 ZOJ PAT Course List for Student

一位好友保研后突然想做做ZOJ的PAT Practise，据说里面的题都比较水，但是还是不幸的卡在了Course List for Student (25)上面。

这是PAT的链接：http://pat.zju.edu.cn/contests/pat-practise

【题目大意】

浙大有40000名同学和2500个课程。给出每门课的选课名单，现在有N个同学要查询他们的选课列表，请输出每个人的选课结果。

先给出n（n <= 40000 ）和m（m<=2500），n表示要查询选课名单的人数，m代表总共的课程数。

接着给出m个课程的选课名单，格式如下：

x（x<=2500）代表该课程的编号，y（y<=200）代表选该课程的人数，接着输出这y个人的姓名。

最后给出n个学生的姓名，输出每个姓名的选课名单，按课程编号从小到大输出。

姓名由4个字符组成，前3个为大写字母，第四个为一个数字。

内存限制【32M】，时间限制【200ms】

【分析】

如果不考虑数据量，建一个<姓名，课程>的二维表来查询，对于每个查询，只需要输出其后的课程编号即可，显然这里用二维矩阵远远超过内存限制（32M）。同时，最多只有2500*200=500,000个选课数据，总大小40000*2500=100,000,000，有效利用率仅0.5%。

于是可以采用map<string,vector<int> >的格式进行储存，键对应姓名，vector对应该姓名的选课编号。输入完毕后对每个姓名后的选课编号进行排序，然后依照查询输出。

这种时间算法复杂度太高。排序时间为为O(nmlog(m))，每次查询时间O(logn*m)，总查询O(nmlog(n))。

查询的效率低下，问题出在对每个姓名都需要进行一次排序，或者提前将所有人员的选课名单都进行排序，显然这两种方法时间复杂度太高。

如果采用计数排序，总时间复杂度略微减少，不过依然是TLE。

进一步分析：

考虑将姓名和课程组成某种数据结构，只进行一次排序即可通过某种方式找出。

由于是对某人选课的课程序号排序，且课程序号至多为2500，于是将<姓名编号，课程编号>压缩成一个id，

id = 姓名编号*2500 + 课程编号。

显然，如此排序后，某人的选课课程必然在[2500*该生姓名编号+1,2500*该生姓名编号+2500]之间。于是对所有id排序一次，然后二分出边界，边界范围内的值即为该生的选课课程编号。

时间复杂度O(plog(p)+nlog(p)) (p<=500,000,n<=40000)

【总结】

进过简单的压缩可以将排序次数从n次减少为1次，说明数据的组织方式即为重要！

【代码】

#include <stdio.h>
#include <map>
#include <set>
#include <string.h>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

bool get(int& a)
{
	if( scanf("%d",&a) == EOF ) return false ;
	return true ;
}

const int maxn = 2500*200 ;
int nimei[maxn] , cnt ;
int id[26][26][26][10] ;

int bs(int key,int l,int r)
{
	int mid ;
	while ( l <= r )
	{
		mid = ( l + r ) >> 1 ;
		if( nimei[mid] > key )
			r = mid - 1 ;
		else 
			l = mid + 1 ;
	}
	return r ;
}

int main()
{
	int n , m ;
	get(n); get(m);
	int i , j , k ;
	int idCnt = 1 ;
	cnt = 0 ;
	for ( i = 0 ; i < m ; i++)
	{
		get(j); get(k);
		char str[16] ;
		while(k--)
		{
			scanf("%s",str);
			int &temp = id[str[0]-'A'][str[1]-'A'][str[2]-'A'][str[3]^48] ;
			if( temp == 0 )
				temp = idCnt++;
			nimei[cnt++] = ( temp << 12 ) | j ;
		}
	}
	sort(nimei,nimei+cnt);
	char name[16] ;
	while(n--)
	{
		scanf("%s",name);
		int t = id[name[0]-'A'][name[1]-'A'][name[2]-'A'][name[3]^48] ;
		if( t == 0 )
		{
			printf("%s 0\n",name);
			continue;
		}
		j = bs(t<<12,0,cnt-1) ;
		k = bs((t+1)<<12,j,cnt-1);
		printf("%s %d",name,k-j);
		for ( j++; j <= k ; j++)
		{
			printf(" %d",nimei[j] &0x00000fff);
		}
		puts("");
	}
}