数据结构-」树状数组

引入

笔者在做Leetcode时，遇到了一个较为棘手的题目，其题目描述如下所述：

给定一个整数数组 nums，按要求返回一个新数组 counts。数组 counts 有该性质： counts[i] 的值是 nums[i] 右侧小于 nums[i] 的元素的数量。
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/count-of-smaller-numbers-after-self
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笔者第一反应将该题转化为单调栈的调用问题，但苦做半天无果，无奈只能查看评论区，看到可用树状数组进行求解，故对树状数组的结构及用法进行记录与总结。

什么是树状数组？

树状数组即为使用数组对树状机构进行模拟，其主要用于求解区间求和和更新问题。
其结构如下图所示：

其中，A为原数组，C即为建立的树状数组，可看到树状数组可以很方便的对区间内的值进行求和及更新。

树状数组的节点

树状数组的节点与原数组一一对应，并通过观察可发现：
C[1] = A[1]
C[2] = A[1] + A[2]
C[3] = A[3]
C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4]
C[5] = A[5]
C[6] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[6]

更一般的可以发现C[i] = A[i-2^K+1] + A[i-2^k+2]…+A[i]
其中k为i的二进制中从最低位到高位连续零的长度，例如8->1000，则K=3。

区间的求和

所以通过树状数组可以对数组的区间进行快速的求和，例如:sum[i] = C[i] + C[i-2^k1] + c[(i-2^k1)-2^k2] + …
但紧跟着的问题是，K该如何求出？
在此处不得不佩服前人的智慧，即2^k = i&(-i），利用计算机中负数存储为补码的特性，可以分析得出（奇数、偶数分别讨论）。

树状数组代码实现

	vector<int> a;
    vector<int> c;

	//初始化树状数组
	void init(int x){
        c.resize(x,0);
    }
	//获取每一步的2^k
    int lowBit(int pos){
        return pos & (-pos);
    }
	//更新节点
    void upgrade(int pos，int k){
    	//应更新从该位置向后的节点，即A[i] 包含于 C[i + 2k]、C[(i + 2k) + 2k].....
        while(pos<c.size()){
            c[pos] += k;
            pos += lowBit(pos);
        }
    }

	//区间求和的查询
    int query(int pos){
        int result = 0;
        while(pos > 0){
            result += c[pos];
            pos -= lowBit(pos);
        }
        return result;
    }