动态规划问题系列---Labyrinth(迷宫)

本文介绍了如何使用动态规划解决一个迷宫问题,其中度度熊需要从矩阵左上角到达右上角,每次只能向上、向下或向右移动,并收集格子中的金币。题目给出了输入输出示例,分析了问题解决方案,即通过从上到下和从下到上分别计算每一步的最大金币数,最后比较得出最大值。

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题目

度度熊是一只喜欢探险的熊,一次偶然落进了一个m*n矩阵的迷宫,该迷宫只能从矩阵左上角第一个方格开始走,只有走到右上角的第一个格子才算走出迷宫,每一次只能走一格,且只能向上向下向右走以前没有走过的格子,每一个格子中都有一些金币(或正或负,有可能遇到强盗拦路抢劫,度度熊身上金币可以为负,需要给强盗写欠条),度度熊刚开始时身上金币数为0,问度度熊走出迷宫时候身上最多有多少金币?
Input
输入的第一行是一个整数T(T < 200),表示共有T组数据。
每组数据的第一行输入两个正整数m,n(m<=100,n<=100)。接下来的m行,每行n个整数,分别代表相应格子中能得到金币的数量,每个整数都大于等于-100且小于等于100。
Output
对于每组数据,首先需要输出单独一行”Case #?:”,其中问号处应填入当前的数据组数,组数从1开始计算。
每组测试数据输出一行,输出一个整数,代表根据最优的打法,你走到右上角时可以获得的最大金币数目。
Sample Input
2
3 4
1 -1 1 0
2 -2 4 2
3 5 1 -90
2 2
1 1
1 1
Sample Output
Case #1:
18
Case #2:
4

分析

到一个点 i,j 可以从上走到这,从下走到这,从右走到这。
以提供的第一组测试数据为例:
第一列,只能从上到下:
1
3
6
比较第二列第一行,只能从左面到这 就是 0
第二列第二行,从左到这 和 从上到这,最大值就是1
第二列第三行,从左到这 和 从上到这,最大值就是11
这是从上向下比较的;
接下来从下向上推:
第二列第三行,从左到这 就是11
第二列第二行,从左到这 和 从下到这,最大值就是9
第二列第一行,从左到这 和 从下到这,最大值就是8

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