计算几何 graham 最大凸包

最新推荐文章于 2025-07-16 09:43:25 发布

betwater

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分类专栏：算法模板文章标签：算法 acm

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本文介绍了如何使用Graham扫描算法解决计算几何中的最大凸包问题。在极角排序阶段，通过调整排序规则以确保近的点在前，避免使用unique函数，从而实现严格凸包的求解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://acm.hunnu.edu.cn/online/?action=problem&type=show&id=11326&courseid=117

凸包的严格凸多边形

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Problem 11326 : No special judgement

Problem description

凸包（convex hull），对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集称为X的凸包，记作con(X)。
对于ACMer来说，这么严格复杂的定义可能是没有必要的。我们只要知道平面有限点集的凸包是一个凸多边形就行了。
现在的问题是给定一个平面点集，求出其“严格凸多边形”的凸包。“严格”的意思是凸多边形的边上没有任意三点共线。

Input

输入有多个案例。每个案例的第一行是一个整数n，n≤100。随后n行，每一行有2个整数，表示点的x、y坐标，0≤x、y≤2147483647。一个单独的0表示输入结束。没有任何点的坐标是完全一样的。

Output

对每一个案例，首先输出一行为其端点的个数，然后按逆时针输出其凸包的顶点的坐标。输出起点是所有顶点的最下最左点（首先是最下，如果有多个点同样处于最下，则取最靠左的）。每个顶点输出一行，中间用空格隔开。

Sample Input

Sample Output

//严格凸包
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long llt;

#define SIZE 101

struct point_t{
	llt x,y;
}P[101];

//叉积，OA×OB
llt cross(point_t const&O,point_t const&A,point_t const&B){
    llt xoa = A.x - O.x;
	llt yoa = A.y - O.y;
	llt xob = B.x - O.x;
	llt yob = B.y - O.y;
	return xoa * yob - xob * yoa;
}

//A如果比B更靠下更靠左返回真
bool isLowLeft(point_t const&A,point_t const&B){
	return A.y < B.y || ( A.y == B.y && A.x < B.x );
}

//按照对于pO的极角排序，极角相等的距离远的排在前面，因为后面要做一个unique
point_t* pO;
bool comp4Graham(point_t const&A,point_t const&B){
    llt t = cross(*pO,A,B);
	if ( t ) return t > 0LL;
	
	llt a1 = A.x > pO->x ? A.x - pO->x : pO->x - A.x;
	llt a2 = B.x > pO->x ? B.x - pO->x : pO->x - B.x;
    if ( a1 != a2 ) return a1 > a2;

	a1 = A.y > pO->y ? A.y - pO->y : pO->y - A.y;
	a2 = B.y > pO->y ? B.y - pO->y : pO->y - B.y;
	return a1 > a2;
}

//相对于pO是否极角相等
bool isEqPolar(point_t const&A,point_t const&B){
    return 0LL == cross(*pO,A,B);
}

//Graham求凸包，结果当中没有共线点，起点总是最下最左点
int Graham(point_t P[],int n){
    if ( 1 == n ) return 1;

	//寻找最下最左点
	point_t *p = min_element(P,P+n,isLowLeft);

	//交换
	swap(*p,P[0]);

	if ( 2 == n ) return 2;

	//按极角排序，极角相等，距离近的排在前面
	pO = P;
	sort(P+1,P+n,comp4Graham);

	//将相对于pO的共线点均剔除，只保留最后一个
	p = unique(P+1,P+n,isEqPolar);
	n = p - P;

	//真正的Graham循环
	int top = 2;
	for(int i=2;i<n;++i){
		while( top > 1 && cross(P[top-2],P[top-1],P[i]) <= 0LL )
			--top;
		P[top++] = P[i];
	}
	return top;
}
int main(){
	int n;
	while( scanf("%d",&n) && n ){
        for(int i=0;i<n;++i)scanf("%I64d%I64d",&P[i].x,&P[i].y);
		n = Graham(P,n);

		printf("%d\n",n);
		for(int i=0;i<n;++i)printf("%I64d %I64d\n",P[i].x,P[i].y);
	}
	return 0;

http://acm.hunnu.edu.cn/online/?action=problem&type=show&id=11327&courseid=117

凸包的不严格凸多边形

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Problem 11327 : No special judgement

Problem description

凸包（convex hull），对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集称为X的凸包，记作con(X)。
对于ACMer来说，这么严格复杂的定义可能是没有必要的。我们只要知道平面有限点集的凸包是一个凸多边形就行了。
现在的问题是给定一个平面点集，求出其“不严格”凸多边形的凸包。“不严格”的意思是指将凸包边界上所有的点都看作是多边形的端点。

Input

输入有多个案例。每个案例的第一行是一个整数n，n≤100。随后n行，每一行有2个整数，表示点的x、y坐标，0≤x、y≤2147483647。一个单独的0表示输入结束。

Output

对每一个案例，首先输出一行为多边形端点的个数，然后按逆时针输出其凸包的顶点的坐标。输出起点是所有顶点的最下最左点（首先是最下，如果有多个点同样处于最下，则取最靠左的）。每个顶点输出一行，中间用空格隔开。

Sample Input

Sample Output

严格凸包是在极角排序的时候提前做了处理，所以我们只要把处理取反即可，代码上只要把极角相等的时候改成近的放前面，去掉unique函数。

typedef long long llt;
struct point_t{
	llt x,y;
}P[101];

llt cross(point_t const&O,point_t const&A,point_t const&B){
    llt xoa = A.x - O.x;
	llt yoa = A.y - O.y;
	llt xob = B.x - O.x;
	llt yob = B.y - O.y;
	return xoa * yob - xob * yoa;
}

bool isLowLeft(point_t const&A,point_t const&B){
	return A.y < B.y || ( A.y == B.y && A.x < B.x );
}

point_t* pO;
bool comp4Graham(point_t const&A,point_t const&B){
    llt t = cross(*pO,A,B);
	if ( t ) return t > 0LL;

	llt a1 = A.x > pO->x ? A.x - pO->x : pO->x - A.x;
	llt a2 = B.x > pO->x ? B.x - pO->x : pO->x - B.x;
    if ( a1 != a2 ) return a1 < a2; //把这个变成近的放前面

	a1 = A.y > pO->y ? A.y - pO->y : pO->y - A.y;
	a2 = B.y > pO->y ? B.y - pO->y : pO->y - B.y;
	return a1 > a2;
}

bool isEqPolar(point_t const&A,point_t const&B){
    return 0LL == cross(*pO,A,B);
}

int Graham(int n){
    if ( 1 == n ) return 1;

	point_t *p = min_element(P,P+n,isLowLeft);

	swap(*p,P[0]);

	if ( 2 == n ) return 2;

	pO = P;
	sort(P+1,P+n,comp4Graham);
    
    //去掉这个
	//p = unique(P+1,P+n,isEqPolar);
	//n = p - P;
	int top = 2;
	for(int i=2;i<n;++i){
		while( top > 1 && cross(P[top-2],P[top-1],P[i]) < 0LL )
			--top;
		P[top++] = P[i];
	}
	return top;
}
int main(){
	int n;
	while( scanf("%d",&n) && n ){
        for(int i=0;i<n;++i)scanf("%I64d%I64d",&P[i].x,&P[i].y);
		n = Graham(n);

		printf("%d\n",n);
		for(int i=0;i<n;++i)printf("%I64d %I64d\n",P[i].x,P[i].y);
	}
	return 0;
}