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1. Leader in Tree Land

可以用求概率的思想来解决这个问题。令以i号节点为根的子树为第i棵子树，设这颗子树恰好有sz[i]个点。那么第i个点是第i棵子树最大值的概率为1/sz[i]，不是最大值的概率为(sz[i]-1)/sz[i]。现在可以求解恰好有k个最大值的概率。

令dp[i][j]表示考虑编号从1到i的点，其中恰好有j个点是其子树最大值的概率。 很容易得到如下转移方程：dp[i][j]=dp[i-1][j]*(sz[i]-1)/sz[i]+dp[i-1][j-1]/sz[i]。这样dp[n][k]就是所有点中恰好有k个最大值的概率。

题目要求的是方案数，用总数n！乘上概率就是答案。计算的时候用逆元代替上面的分数即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <vector>
#include <set>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define mem(x,i)    memset(x,i,sizeof(x))
#define sfi(a)      scanf("%d", &a)  
#define sfii(a,b)   scanf("%d %d", &a, &b)  
#define sfiii(a,b,c)    scanf("%d %d %d", &a, &b, &c)  
#define sf          scanf
#define pf          printf 
const double EPS = 1e-10;
const double pai = acos(-1.0);
const int INF = 0xfffffff;
const int MOD = 1000000007;
typedef long long LL;
const int maxn = 1005;
int N, K;
vector<int> g[maxn];
int sz[maxn];
LL dp[maxn][maxn], F[maxn], inv[maxn];
void init(){
    for (int i = 1; i <= N; i++){
        g[i].clear();
        sz[i] = 0;
    }
}
LL pow_mod(LL a, LL p, LL n){
    if (p == 0) return 1;
    LL ans = pow_mod(a, p / 2, n);
    ans = ans*ans%n;
    if (p % 2 == 1) ans = ans*a%n;
    return ans;
}
void MakeInv(){
    for (int i = 1; i < maxn; i++){
        inv[i] = pow_mod(i, MOD - 2, MOD);
    }
}
void MakeF(){
    F[0] = 1;
    for (int i = 1; i < maxn; i++){
        F[i] = (F[i - 1] * i) % MOD;
    }
}
int dfs(int u, int fa){
    sz[u] = 1;
    for (int i = 0; i < g[u].size(); i++){
        int v = g[u][i];
        if (v == fa)    continue;
        sz[u] += dfs(v, u);
    }
    return sz[u];
}
void solve()
{
    dfs(1, -1);
    mem(dp, 0);
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= N; i++){
        for (int j = 0; j <= K; j++){
            dp[i][j] += (dp[i - 1][j] * (sz[i] - 1) % MOD)*inv[sz[i]] % MOD;
            if (j > 0)
                dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1] * inv[sz[i]] % MOD;
            dp[i][j] %= MOD;
        }
    }
}
int main()
{
    //freopen("f:\\input.txt", "r", stdin);
    MakeInv();
    MakeF();
    int T;
    sfi(T);
    for (int cas = 1; cas <= T; cas++){
        sfii(N, K);
        init();
        for (int i = 0; i < N - 1; i++){
            int a, b;
            sfii(a, b);
            g[a].push_back(b);
            g[b].push_back(a);
        }
        solve();
        LL ans = dp[N][K] * F[N] % MOD;
        pf("Case #%d: %lld\n", cas, ans);
    }
    return 0;
}