51、无限时间Blum - Shub - Smale机器理论探究

无限时间Blum - Shub - Smale机器理论探究

1. 寄存器内容处理与复合极限问题

在处理寄存器内容时，有两种方法比较实用。一种是将寄存器内容频繁地除以一个固定的数，并记录除法操作的次数；另一种是将无界的内容存储为其乘法逆元。这两种方法都可以看作是把寄存器中的相关数据推到其十进制或二进制展开的更靠后的位置。

复合极限，如ω · ω，会带来额外的问题。因为在极限时间之后，如果不牺牲复合极限处的收敛性，暂存寄存器不能被设置为任意值。不过，如果按照上述方法处理，在趋近复合极限的每个极限阶段，寄存器内容会是有界的。为了确保在复合极限处收敛，这些界限本身也需要收敛。

2. 可计时序数

自Hamkins和Lewis关于无限时间图灵机（ITTM）的论文发表以来，确定那些在空输入下作为停机时间出现的序数，对机器模型的研究变得十分重要。由于我们的机器在极限时间不停机，所以我们关注那些运行某个极限步数α，然后在下一步停机的机器。

定义 ：若存在n ∈ ω和一个n寄存器的无限时间Blum - Shub - Smale机器（ITBM）程序，该程序在输入0 ∈ Rⁿ时，恰好经过α + 1步停机，则称序数α是ITBM可计时的。

下面我们通过算法来证明一些序数的可计时性。

引理1 ：第一个极限序数ω是ITBM可计时的。
证明算法 ：

Algorithm 2
set R1 := 1;
call loop;
l