向量范数及各范数下的单位球

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#线性代数 #矩阵

本文探讨了向量的p范数定义，包括1≤p<∞以及p=∞的情况，并指出当0<p<1时虽然不是严格意义上的范数。特别地，文章通过二维示例展示了不同p值下单位球的几何形状变化。

向量范数

若 x∈Rnx\in\mathbb{R}^nx∈Rn, 则 xxx 的 ppp 范数定义为
∣∣x∣∣p=(∑jn∣xi∣p)1/p,1≤p<+∞,||x||_p=\left(\sum_j^n|x_i|^p\right)^{1/p}, \quad 1\leq p < +\infty,∣∣x∣∣p​=(j∑n​∣xi​∣p)1/p,1≤p<+∞,
∣∣x∣∣∞=max⁡i{∣xi∣},p=∞.||x||_{\infty}=\max_{i}\{|x_i|\},\quad p=\infty .∣∣x∣∣∞​=imax​{∣xi​∣},p=∞.

在各范数下的单位球形状不同, 以二维情况为例, 有
在这里插入图片描述
当0<p<10<p<10<p<1时, 上述定义不再是范数, 但仍然可以画出此时的单位球.
在这里插入图片描述

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