图算法-PageRank

PageRank最早出自1998年的论文《The Anatomy of a Large-Scale Hypertextual Web Search Engine》，最早是google用于进行网页排序的算法，在其他很多领域也都有应用，比如在NLP里TextRank用它来提取关键字，还有人称它是最伟大的算法之一。

PageRank是一种应用于有向图的迭代算法，节点$p_i$的PageRank分数计算公式如下：
$$PR(p_i)=\frac{1-d}{N}+d\sum _{p_j\in M(p_i)}\frac{PR(p_j)}{L(p_j)}$$
上式中，N是图中的节点个数，$M(p_i)$是指向节点$p_i$的节点集合， $L(p_j)$是节点$p_j$对应的出边数目。d是阻尼因子(damping factor)，意味着在每一步有d的概率从节点i的入边跳转到i，有(1-d)的概率随机跳转到网络中的任一节点，通常d会取0.85。

PageRank初始化时，每一个节点的PageRank是相等的都为$\frac{1}{N}$，在每一轮迭代中，按上式依次计算每一个节点的PageRank分数，当两次迭代PageRank分数变化小于指定阈值或者达到最大迭代次数时，停止迭代。

带权图的PageRank分数计算如下（$w_{ji}$是节点i与j之间的权重，$O(p_j)$是节点j的出边另一端的节点）：
$$PR(p_i)=\frac{1-d}{N}+d\sum _{p_j\in M(p_i)}\frac{w_{ji}}{{\sum }_{k\in O(p_j)}{w}_{jk}}PR(p_j)$$
个性化PageRank(personalized PageRank, PPR)与普通PageRank的区别是计算节点i的pagerank分数时，以(1-d)概率跳转到其他节点时，不再随机跳到图中任一节点，而且按照一定的偏好概率来跳转，用公式表示如下：
$$PR(p_i)=(1-d)u+d\sum _{p_j\in M(p_i)}\frac{PR(p_j)}{L(p_j)}$$
上式中的$u$是图中每个节点被选择的概率，其和为1。比如如果N = 5，只对第一个和第三个感兴趣，则u=[0.5,0,0.5,0,0]。初始化时，可以定义每个节点的分数，如果不一定则每个节点的分数都为1/N。

使用networkx计算PageRank

import networkx as nx

G = nx.DiGraph()
[G.add_node(k) for k in [1,2,3,4]]
G.add_edge(1,2)
G.add_edge(2,3)
G.add_edge(3,1)
G.add_edge(4,3)

pr = nx.pagerank(G)
print(pr)
# {1: 0.32021321825822335, 2: 0.3096812355194899, 3: 0.33260554622228633, 4: 0.037500000000000006}
## 指定偏好
ppr1 = nx.pagerank(G, personalization={1:0.5, 2:0.5, 3:0, 4:0})
print(ppr1)
# {1: 0.3347906675915683, 2: 0.35957180344741185, 3: 0.30563752896102, 4: 0.0}

参考资料

1. https://nlp.stanford.edu/projects/pagerank.shtml

2. pagerank的spark实现：spark graphx, spark-pagerank（实现了带权图的pagerank)

3. pagerank的wikipedia

4. networkx实现的pagerank