Hessian matrix

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本文介绍了海森矩阵的概念及其在函数优化中的应用。海森矩阵由实值函数的二阶偏导数组成，用于判别临界点的性质，如局部极小点、局部极大点或鞍点，并详细讨论了不同情况下海森矩阵的特征。

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在数学中，海森矩阵（Hessian matrix或Hessian）是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，此函数如下：

$f(x_1, x_2, \dots, x_n),$

如果f所有的二阶导数都存在，那么f的海森矩阵即：

$H(f)_{ij}(x) = D_i D_j f(x)$

其中 $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ ，即

$H(f) = \begin{bmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}\end{bmatrix}$

（也有人把海森定义为以上矩阵的行列式）海森矩阵被应用于牛顿法解决的大规模优化问题。

在 $\mathbb{R}^2$ → $\mathbb{R}$ 的函数的应用[编辑]

给定二阶导数连续的函数 $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ ，海森矩阵的行列式，可用于分辨 $f$ 的临界点是属于鞍点还是极值点。

对于 $f$ 的临界点 $(x_0, y_0)$ 一点，有 $\frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial x} = \frac{\partial f(x_0, y_0)}{\partial y} = 0$ ，然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海森矩阵可能解答这个问题。

$H = \begin{vmatrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} \\ \\\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{vmatrix} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - (\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x})^2$

H > 0：若 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} > 0$ ，则 $(x_0, y_0)$ 是局部极小点；若 $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} < 0$ ，则 $(x_0, y_0)$ 是局部极大点。
H < 0： $(x_0, y_0)$ 是鞍点。
H = 0：二阶导数无法判断该临界点的性质，得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。