整数的拆分

最新推荐文章于 2021-03-15 14:57:46 发布

HAI__嗨I起来

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分类专栏：搜索递推与递归技巧

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本文深入探讨了整数划分问题，详细解释了递归法和母函数法的求解过程。通过具体实例，展示了如何使用这两种方法计算整数的所有划分个数，并提供了代码实现。

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整数划分问题是算法中的一个经典命题之一，有关这个问题的讲述在讲解到递归时基本都涉及到。

所谓整数划分，是指把一个正整数n写成如下形式：

n=m1+m2+m3+....+mi;（其中mi为正整数，并且1<=mi<=n），则{m1,m2,m3,....,mi}为n的一个划分。

如果{m1,m2,m3,....,mi}中的最大值不超过m，即max{m1,m2,m3,....,mi} <= m，则称它属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m)；

例如当n=4时，它有5个划分：{4}、{3,1}、{2,2}、{2,1,1}、{1,1,1,1}；

注意：4=1+3和4=3+1被认为是同一个划分。

该问题是求出n的所有划分个数，即f(n,n)。下面我们考虑求f(n,m)的方法。

（一）方法一——递归法

根据n和m的关系，考虑下面几种情况：

（1）当n=1时，不论m的值为多少（m>0），只有一种划分，即{1}；

（2）当m=1时，不论n的值为多少（n>0），只有一种划分，即{1,1,....1,1,1}；

（3）当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

（a）划分中包含n的情况，只有一个，即{n}；

（b）划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有（n-1）划分；

因此，f(n,n) = 1 + f(n, n - 1)。

（4）当n

（5）当n>m时，根据划分中是否包含m，可以分为两种情况：

（a）划分中包含m的情况，即{m,{x1,x2,x3,...,xi}}，其中{x1,x2,x3,...,xi}的和为n-m，可能再次出现m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m)；

（b）划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的（m-1）划分，个数为f(n, m - 1)；

因此，f(n,m) = f(n - m,m) + f(n, m - 1)。

综合以上各种情况，可以看出，上面的结论具有递归定义的特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，而情况（5）为通用情况，属于递归的方法，其本质主要是通过减少n或m以达到回归条件，从而解决问题。

其递归表达式如下所示。

（二）方法二——母函数

下面我们从另一个角度，即“母函数”的角度来考虑这个问题。

所谓母函数，即为关于x的一个多项式G(x)：

有G(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ......

则我们称G(x)为序列(a0, a1, a2,.....)的母函数。关于母函数的思路我们不做更过分析。

我们从整数划分考虑，假设n的某个划分中，1的出现个数记为a1，2的个数记为a2，.....，i的个数记为ai，

显然有：ak <= n/k（0<= k <=n）

因此n的划分数f(n,n)，也就是从1到n这n个数字抽取这样的组合，每个数字理论上可以无限重复出现，即个数随意，使它们的综合为n。显然，数字i可以有如下可能，出现0次（即不出现），1次，2次，......，k次等等。把数字i用（x^i）表示，出现k次的数字i用（x^(i*k)）表示，不出现用1表示。

例如，数字2用x^2表示，2个2用x^4表示，3个2用x^6表示，k个2用x^2k表示。

则对于从1到N的所有可能组合结果我们可以表示为：

G(x) = ( 1 + x + x^2 + x^3 + ... + x^n)*(1 + x^2 + x^4 + x^6 + ....)....(1 + x^n)

= g(x,1)*g(x,2)*g(x,3)*....*g(x,n)

= a0 + a1*x + a2*x^2 +...+ an*x^n + ....//展开式

上面的表达式中，每个括号内的多项式代表了数字i的参与到划分中的所有可能情况。因此，该多项式展开后，由于x^a *x^b = x^(a+b)，因此x^i就代表了i的划分，展开后（x^i）项的系数也就是i的所有划分个数，即f(n,n) = an。

由此我们找到了关于整数划分的母函数G(x)；剩下的问题就是，我们需要求出G(x)的展开后的所有系数。

为此，我们首先要做多项式乘法，对于我们来说，并不困难。我们把一个关于x的多项式用一个整数数组a[]表示，a[i]代表x^i的系数，即：

g(x) = a[0] + a[1]x + a[2]x^2 + ... + a[n]x^n;

则关于多项式乘法的代码如下，其中数组a和数组b表示两个要相乘的多项式，结果存储到数组c中。

（三）代码实现

#include<bits/stdc++.h>//整数划分问题
using namespace std;
int DFS(int n,int m)
{
    if(n<1||m<1)
        return 0;
    if(n==1||m==1)
        return 1;
    if(n<m)
        return DFS(n,n);
    if(n==m)
        return DFS(n,m-1)+1;
    return DFS(n,m-1)+DFS(n-m,m);
}
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        printf("%d\n",DFS(n,n));
    }
}