浅谈扩展gcd

浅谈扩展gcd

前言

有一段时间觉得扩展gcd很简单，然后不知道为什么有一段时间又觉得迷惑不清，于是现在我来重新梳理一下。

扩展gcd是什么

$ax+by=gcd(a,b)$，$a,b$不完全为0，且$x,y$都为整数解。求解。
扩展$gcd$即用来求这个
注：$[]$为向下取整的意思

求解

假设$a>b$,
$1.显然当b=0时，gcd(a,b)=a$。此时，$x=1.y=0$
2.$a<>b$
设$ax1+by1=gcd(a,b)$
设$bx2+(amodb)y2=gcd(b,amodb)$
由$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$
可知
$ax1+by1=bx2+(amodb)y2$
可知
$ax1+by1=bx2+(a-[a/b]\ast b)y2=ay2+bx2-[a/b]\ast by2$
得
$ax1+by1==ay2+b(x2-[a/b]\ast y2)$
易得
$x1=y2;y1=x2-[a/b]\ast y2$
则可递归求出一组$x,y$，其他解见求解不定方程

模板

void exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return;
    }
    exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}

我们需要的解则就是$x,y$（该组解没有什么其他特点）

应用

……整理到现在我发现扩展gcd好simpl*啊

求乘法逆元

存在同余方程$ax\equiv b(modn)$
如果$gcd(a,n)==1$且$b==1$时
$ax\equiv 1(modn)$
可等同于求方程
$ax+ny=1$

过程:

设，$x\equiv y(modp)$
可得：$x+kp=y$,$k$可正可负
相当于说，$p$是x的除以的数，$y$是余数，所以可得
那么把上面的方程代入亦可得解

则用扩欧求之

线性同余方程（其实和上面差不多）

$ax\equiv b(modn)$
当$b$%$(gcd(a,n)==0)$，则有解
可转换为$ax+ny=b$
则用扩欧求之

求解不定方程

$ax+by=c$
首先你必须要保证$gcd(a,b)$要整除c，
设$g=gcd(a,b),a^{\prime }=a/g,b^{\prime }=b/g,c^{\prime }=c/g$
由线性同余方程，我们可以得出$a^{\prime }{x}^{\prime }+b^{\prime }{y}^{\prime }=1$的整数解（看上面mo）
那么$a^{\prime }{c}^{\prime }{x}^{\prime }+b^{\prime }{c}^{\prime }{y}^{\prime }=c^{\prime }$
然后可得 $a^{\prime }g{c}^{\prime }{x}^{\prime }+b^{\prime }g{c}^{\prime }{y}^{\prime }=c^{\prime }g$
即$a{c}^{\prime }{x}^{\prime }+b{c}^{\prime }{y}^{\prime }=c$
所以$x0=c^{\prime }{x}^{\prime }$ ， $y0=c^{\prime }{y}^{\prime }$则为方程的一组解

然后
因为$a^{\prime }x+b^{\prime }y=c$和$a^{\prime }x\equiv c^{\prime }(mod{b}^{\prime })$可以互相转换（线性同余方程的应用）
所以$x$是模$b^{\prime }$同余的一个剩余类
可得
$x=x0+b^{\prime }\ast t,y=y0-a^{\prime }\ast t，t是整数$

剩余类:一个整数被正整数n除后，余数有n种情形：0，1，2，3，…，n-1，它们彼此对模n不同余。这表明，每个整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。这样一来，按模n是否同余对整数集进行分类，可以将整数集分成n个两两不相交的子集。我们把（所有）对模n同余的整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类。

加油搞懂它!!!