12、独立同分布假设下的量子密码分析与拓展

独立同分布假设下的量子密码分析与拓展

1. 独立同分布假设下的概率特性

在独立同分布（IID）假设下，我们可以得到一些重要的概率结论。例如，对于随机变量 (W_i)，有 (Pr\left(\sum_{i} W_i = n\right)=\prod_{i} Pr [W_i = 1] = (1 - \alpha)^n)。显然，当 (1 - \alpha < 1) 时，((1 - \alpha)^n) 会随着 (n) 的增大呈指数级快速减小。

同时，对于任意的 IID 盒子，都存在一个集中界。根据霍夫丁不等式，对于 (0 \leq \beta \leq \alpha)，有 (Pr\left(\sum_{i} W_i \geq (1 - \alpha + \beta)n\right) \leq \exp\left(-2n\beta^2\right))，该概率同样会随着 (n) 的增大呈指数级快速减小。

2. 设备无关量子密码学中的 IID 假设应用

在设备无关量子密码学中，我们以随机数认证为例，来探讨 IID 假设的应用。

2.1 系统状态建模

在 IID 假设下，诚实方 Alice 和 Bob 的状态具有 IID 结构，即 (\rho_{Q_AQ_B} = (\sigma_{Q_AQ_B})^{\otimes n})，其中每个 (\sigma_{Q_AQ_B}) 是 Alice 和 Bob 共享的二部态。并且，协议每一轮执行的测量都是相同且相互独立的，即对于所有的 (a) 和 (x)，(M_x^a = (M_x^a)^{\otimes n})，Bob 的测量同理。

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