不同路径（一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角）

最新推荐文章于 2022-08-04 20:31:14 发布

原创最新推荐文章于 2022-08-04 20:31:14 发布 · 1w 阅读

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本文介绍了一种计算机器人在mxn网格中从左上角到右下角的不同路径数量的算法。通过动态规划方法，文章详细阐述了如何利用网格第一行和第一列的特性，逐步计算出每个格子可达路径的数量，最终得出右下角格子的路径总数。提供了两种实现方案，一种空间复杂度为O(m*n)，另一种优化后空间复杂度降低至O(n)。

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角（起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

解题思路：这道题，可以这么理解，在这个矩形网格框内，第一行和第一列中的每一位置，到达的可能路径都为1。对其他位置，到达的可能路径数量为其正上面位置对应路径的数量加上左边路径的数量（因为只可以向下走或者向右走）。如下表可以看出这一点。

时间复杂度为O(m*n）空间复杂度为O(m*n）

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        Solution s = new Solution();
        int m = 3;
        int n = 7;
        System.out.println(s.uniquePaths(m,n));

    }
}

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i == 0 || j == 0)
                    dp[i][j] = 1;
                else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];

    }
}

代码优化：时间复杂度不变O(m*n），空间复杂度变小O(n)。

public class Test {
    public static void main(String[] args) {
        Solution s = new Solution();
        int m = 3;
        int n = 7;
        System.out.println(s.uniquePaths(m,n));

    }
}

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[n];
         for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j =0 ; j < n; j++) { 
                if(i == 0 ){
                    dp[j] += 1;
                }
                if(i != 0 && j != 0){
                    dp[j] += dp[j-1];              
                }
            }
        }
        return dp[dp.length-1];
    }
}