相机对焦区域最优选择（2026.11.04）
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题目描述
在收集相机应用的自动对焦系统中，画面被划分为 m×n 个对焦区域，每个区域的对比度用一个整数表示。现在需要选择一个面积恰好为 maxArea 的矩形区域，使其平均对比度值最大。
定义：选取一个 h 行 × w 列的连续矩形区域 R（h×w=maxArea，且矩形须完全位于矩阵内），其平均对比度为
avg(R)=maxArea∑(i,j)∈RcontrastMatrix[i][j]
其中求和范围为区域 R 内的所有格子 (i,j)。由于面积固定为 maxArea，分母是常数，因此
「平均对比度值最大」等价于「矩形区域内对比度求和最大」。
请返回所有合法矩形中 avg(R) 的最大值，保留 5 位小数。
说明
- 答案的 5 位小数形式是唯一的，评测按逐字节一致比对，请严格按输出描述的格式输出。
输入描述
输入只有一行，形如 [[1,2,3],[4,5,6]],2：先用方括号包住整个矩阵，行与行之间用 ],[ 分隔，同一行元素用半角逗号分隔；矩阵之后紧跟一个半角逗号，再给出整数 maxArea。m 为矩阵行数，n 为每行元素个数。读入应容忍逗号/方括号前后的多余空白。
输出描述
输出一行，为最大平均对比度，格式固定为整数部分 + 小数点 + 恰好 5 位小数，第 6 位小数四舍五入，位数不足补 0。评测按逐字节一致比对。
样例
用例输入 1
[[1,2,3],[4,5,6]],2
用例输出 1
5.50000
用例解释 1
面积必须恰好为 2，可行的尺寸只有 1×2 与 2×1：
- 选第 2 行的
[5,6]，平均值 =(5+6)/2=5.5； - 或
[2,3]，平均值 =2.5； - 或
[4,5]，平均值 =4.5； - 2×1 的最佳是第 3 列的
(3,6)，和 =9，平均值 =4.5。
最大为 5.5，按格式返回 5.50000。
用例输入 2
[[10,20],[30,40]],1
用例输出 2
40.00000
用例解释 2
maxArea = 1，只能选单个格子，最大值是 40，按格式返回 40.00000。
用例输入 3
[[100,50,200],[150,80,120]],3
用例输出 3
116.66667
用例解释 3
面积恰好为 3，可选 1×3 或 3×1。矩阵是 2 行 3 列，3×1 需要 3 行，放不下，所以只能选 1×3：
- 第 1 行
[100,50,200]：350/3≈116.66667； - 第 2 行
[150,80,120]：350/3≈116.66667。
最大为 116.66667。
来源
本题来源于网络、非官方材料、仅供学习交流，侵删
🧠 解题思路
第一步：把“平均值最大”换成“和最大”
平均对比度 = 矩形里所有数的和 ÷ maxArea。所有候选矩形的面积都是 maxArea，分母一样，所以谁的和大，谁的平均值就大。问题变成：在所有面积为 maxArea 的矩形里，找元素和最大的那个，最后再除以 maxArea。
第二步：矩形可能是哪些形状
设矩形高 h 行、宽 w 列，h × w = maxArea。让 h 从 1 试到 m（矩阵行数）：
- h 必须能整除 maxArea，否则宽不是整数；
- 宽 w = maxArea / h 不能超过 n（矩阵列数），否则放不下。
例如 maxArea = 6、矩阵 4 行 5 列：h = 1 时 w = 6 > 5，放不下；h = 2 时 w = 3 ✓；h = 3 时 w = 2 ✓；h = 4 时 6 不能被 4 整除。只有 2×3 和 3×2 两种形状。横着放和竖着放会在不同的 h 上分别枚举到，不用另外处理。
第三步：最直接的做法为什么慢
形状定了以后，把矩形在矩阵里一格一格地挪，每到一个位置就把里面的 maxArea 个数加起来。矩阵最大 350×350，如果 maxArea = 10000（100×100），光这一种形状就有 251×251 ≈ 6.3 万个位置，每个位置要加 1 万个数，约 6×10⁸ 次加法，再算上其他形状就会超时。
慢在哪？相邻两个位置的矩形大部分是重叠的，重叠的部分被反复加了很多遍。前缀和就是用来消灭这种重复加法的。
第四步：前缀和是什么（先看一维）
数组 a = [3, 1, 4, 1, 5]，想多次求“第 l 个到第 r 个数的和”。先算一个前缀和数组 pre，pre[k] 表示前 k 个数的和：
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pre[k] | 0 | 3 | 4 | 8 | 9 | 14 |
pre[0] = 0 表示一个数都不取；之后 pre[k] = pre[k − 1] + a 的第 k 个数，从左到右扫一遍就算完。
第 2 到第 4 个数（1、4、1）的和 = 前 4 个数的和 − 前 1 个数的和 = pre[4] − pre[1] = 9 − 3 = 6。
原理：前 4 个 = 前 1 个 + 第 2～4 个，两边相减，剩下的正好是要的那一段。不管这一段有多长，都只做一次减法。
第五步：推广到二维
定义 pre[i][j] = 矩阵前 i 行、前 j 列这个左上角区域里所有数的和。pre 比矩阵多一行一列，第 0 行、第 0 列全是 0，表示空区域。
怎么算 pre：左上角 i×j 区域 = 上面的 (i−1)×j 区域 + 左边的 i×(j−1) 区域 + 右下角那一格。上面和左边两块有一块公共部分 (i−1)×(j−1) 被加了两次，要减掉一次：
pre[i][j] = pre[i−1][j] + pre[i][j−1] − pre[i−1][j−1] + 矩阵第 i 行第 j 列的数（行列都从 1 数）
怎么用 pre 求任意矩形的和：设矩形右下角在第 i 行第 j 列，高 h、宽 w。
- 先取从矩阵左上角到这个右下角的整块：pre[i][j]；
- 减去矩形上方那一块：pre[i−h][j]；
- 减去矩形左边那一块：pre[i][j−w]；
- 左上角那一小块 pre[i−h][j−w] 在第 2、3 步被减了两次，加回来一次。
矩形和 = pre[i][j] − pre[i−h][j] − pre[i][j−w] + pre[i−h][j−w]
这样每个位置只做 4 次加减，和 maxArea 多大无关了。
第六步：用样例 1 走一遍
矩阵 [[1,2,3],[4,5,6]]，maxArea = 2，m = 2，n = 3。
① 算前缀和 pre（3 行 4 列）：
| j=0 | j=1 | j=2 | j=3 | |
|---|---|---|---|---|
| i=0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| i=1 | 0 | 1 | 3 | 6 |
| i=2 | 0 | 5 | 12 | 21 |
例如 pre[2][2] = pre[1][2] + pre[2][1] − pre[1][1] + 5 = 3 + 5 − 1 + 5 = 12，正好是 1 + 2 + 4 + 5。
② 找形状：h = 1 时 w = 2 ✓；h = 2 时 w = 1 ✓。
③ 每个位置求和：
| 形状 | 右下角 (i, j) | 计算 | 和 | 对应的格子 |
|---|---|---|---|---|
| 1×2 | (1, 2) | 3 − 0 − 0 + 0 | 3 | 1、2 |
| 1×2 | (1, 3) | 6 − 0 − 1 + 0 | 5 | 2、3 |
| 1×2 | (2, 2) | 12 − 3 − 0 + 0 | 9 | 4、5 |
| 1×2 | (2, 3) | 21 − 6 − 5 + 1 | 11 | 5、6 |
| 2×1 | (2, 1) | 5 − 0 − 0 + 0 | 5 | 1、4 |
| 2×1 | (2, 2) | 12 − 0 − 5 + 0 | 7 | 2、5 |
| 2×1 | (2, 3) | 21 − 0 − 12 + 0 | 9 | 3、6 |
最大和 best = 11，平均值 11 / 2 = 5.5。
第七步：保留 5 位小数，为什么不用浮点格式化
直觉写法是 printf(“%.5f”, best / maxArea)，但第 6 位小数正好是 5 时会出错，原因有两个：
- 1/64 = 0.015625 在浮点数里能精确存下，可格式化函数遇到“正好一半”时舍入到偶数，C++ 的 printf 和 Python 的 ‘%.5f’ 都输出 0.01562，题目要 0.01563；
- 3/320 = 0.009375 在浮点数里实际存成 0.0093749999…，第 6 位不到 5，输出 0.00937，题目要 0.00938。
所以改用整数做四舍五入：
- 要的是 best / maxArea × 100000 四舍五入后的整数 q；
- 四舍五入 = 加 0.5 再向下取整，通分后：q = ⌊(best × 200000 + maxArea) / (2 × maxArea)⌋；
- 整数部分是 q / 100000，小数部分是 q % 100000，不足 5 位左边补 0。
样例 1：q = (11 × 200000 + 2) / 4 = 2200002 / 4，向下取整得 550000，整数部分 5，小数部分 50000，输出 5.50000。
⚠️ 易错点
- 形状要同时满足两个条件：h 能整除 maxArea，并且 w = maxArea / h 不超过 n。
- 不能只试 1 × maxArea 或接近正方形的某一种形状，所有放得下的形状都要试。
- 二维前缀和的四项不要写错：减去“上方”和“左边”，加回“左上角”。
- 不能用浮点格式化输出：0.015625 应输出 0.01563，0.009375 应输出 0.00938，要用整数四舍五入。
- best 最大 255 × 350 × 350 = 31237500，int 放得下，但乘 200000 之前要转成 long / long long。
- 小数部分不足 5 位要左边补 0，例如 0.01563 的小数部分是 1563，要输出成 01563。
⏱️ 复杂度
时间复杂度：O(m·n·d)，d 是放得下的形状个数。建前缀和要 m·n 次；每种形状最多 m·n 个位置，每个位置 4 次加减。最坏是 maxArea = 840：350×350 里有 28 种形状放得下，一共约 2.3×10⁶ 个位置，远在时限内。
空间复杂度：O(m·n)，前缀和数组有 (m+1)×(n+1) 个数。
💻 参考代码（Java）
class Solution {
public String maxAverageContrast(int[][] contrastMatrix, int maxArea) {
int m = contrastMatrix.length, n = contrastMatrix[0].length;
// 二维前缀和：pre[i][j] 是前 i 行、前 j 列的元素和
int[][] pre = new int[m + 1][n + 1];
for (int i = 0; i < m; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
pre[i + 1][j + 1] = pre[i][j + 1] + pre[i + 1][j] - pre[i][j] + contrastMatrix[i][j];
int best = 0;
for (int h = 1; h <= m; h++) { // 枚举矩形高度 h，宽度 w = maxArea / h
if (maxArea % h != 0 || maxArea / h > n) continue;
int w = maxArea / h;
for (int i = h; i <= m; i++) // (i, j) 是矩形右下角在前缀和里的坐标
for (int j = w; j <= n; j++)
best = Math.max(best, pre[i][j] - pre[i - h][j] - pre[i][j - w] + pre[i - h][j - w]);
}
// 整数四舍五入到 5 位小数：q = round(best / maxArea × 10^5)
long q = (best * 200000L + maxArea) / (2L * maxArea);
return String.format("%d.%05d", q / 100000, q % 100000);
}
}
💻 参考代码（C++）
class Solution {
public:
string maxAverageContrast(vector<vector<int>>& contrastMatrix, int maxArea) {
int m = contrastMatrix.size(), n = contrastMatrix[0].size();
// 二维前缀和：pre[i][j] 是前 i 行、前 j 列的元素和
vector<vector<int>> pre(m + 1, vector<int>(n + 1, 0));
for (int i = 0; i < m; i++)
for (int j = 0; j < n; j++)
pre[i + 1][j + 1] = pre[i][j + 1] + pre[i + 1][j] - pre[i][j] + contrastMatrix[i][j];
int best = 0;
for (int h = 1; h <= m; h++) { // 枚举矩形高度 h，宽度 w = maxArea / h
if (maxArea % h != 0 || maxArea / h > n) continue;
int w = maxArea / h;
for (int i = h; i <= m; i++) // (i, j) 是矩形右下角在前缀和里的坐标
for (int j = w; j <= n; j++)
best = max(best, pre[i][j] - pre[i - h][j] - pre[i][j - w] + pre[i - h][j - w]);
}
// 整数四舍五入到 5 位小数：q = round(best / maxArea × 10^5)
long long q = (best * 200000LL + maxArea) / (2LL * maxArea);
char buf[32];
snprintf(buf, sizeof(buf), "%lld.%05lld", q / 100000, q % 100000);
return buf;
}
};
💻 参考代码（Python）
class Solution:
def maxAverageContrast(self, contrastMatrix, maxArea):
m, n = len(contrastMatrix), len(contrastMatrix[0])
# 二维前缀和：pre[i][j] 是前 i 行、前 j 列的元素和
pre = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
for i in range(m):
for j in range(n):
pre[i + 1][j + 1] = pre[i][j + 1] + pre[i + 1][j] - pre[i][j] + contrastMatrix[i][j]
best = 0
for h in range(1, m + 1): # 枚举矩形高度 h，宽度 w = maxArea / h
if maxArea % h or maxArea // h > n:
continue
w = maxArea // h
for i in range(h, m + 1): # (i, j) 是矩形右下角在前缀和里的坐标
for j in range(w, n + 1):
best = max(best, pre[i][j] - pre[i - h][j] - pre[i][j - w] + pre[i - h][j - w])
# 整数四舍五入到 5 位小数：q = round(best / maxArea × 10^5)
q = (best * 200000 + maxArea) // (2 * maxArea)
return '%d.%05d' % (q // 100000, q % 100000)
💻 参考代码（JavaScript）
class Solution {
maxAverageContrast(contrastMatrix, maxArea) {
const m = contrastMatrix.length, n = contrastMatrix[0].length;
// 二维前缀和：pre[i][j] 是前 i 行、前 j 列的元素和
const pre = Array.from({ length: m + 1 }, () => new Array(n + 1).fill(0));
for (let i = 0; i < m; i++)
for (let j = 0; j < n; j++)
pre[i + 1][j + 1] = pre[i][j + 1] + pre[i + 1][j] - pre[i][j] + contrastMatrix[i][j];
let best = 0;
for (let h = 1; h <= m; h++) { // 枚举矩形高度 h，宽度 w = maxArea / h
if (maxArea % h !== 0 || maxArea / h > n) continue;
const w = maxArea / h;
for (let i = h; i <= m; i++) // (i, j) 是矩形右下角在前缀和里的坐标
for (let j = w; j <= n; j++)
best = Math.max(best, pre[i][j] - pre[i - h][j] - pre[i][j - w] + pre[i - h][j - w]);
}
// 整数四舍五入到 5 位小数：q = round(best / maxArea × 10^5)
const q = Math.floor((best * 200000 + maxArea) / (2 * maxArea));
return Math.floor(q / 100000) + "." + String(q % 100000).padStart(5, "0");
}
}
module.exports = Solution;
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