Educational Codeforces Round 103 (Rated for Div. 2) A. K-divisible Sum 题解 构造

K-divisible Sum

题目描述

You are given two integers $n$ and $k$.

You should create an array of $n$ positive integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ such that the sum $(a_1+a_2+\cdots +a_n)$ is divisible by $k$ and maximum element in $a$ is minimum possible.

What is the minimum possible maximum element in $a$?

输入描述

The first line contains a single integer $t$ ($1\le t\le 1000$) — the number of test cases.

The first and only line of each test case contains two integers $n$ and $k$ ($1\le n\le 10^9$; $1\le k\le 10^9$).

输出描述

For each test case, print one integer — the minimum possible maximum element in array $a$ such that the sum $(a_1+\cdots +a_n)$ is divisible by $k$.

样例 #1

样例输入 #1

4
1 5
4 3
8 8
8 17

样例输出 #1

5
2
1
3

提示

In the first test case $n=1$, so the array consists of one element $a_1$ and if we make $a_1=5$ it will be divisible by $k=5$ and the minimum possible.

In the second test case, we can create array $a=[1,2,1,2]$. The sum is divisible by $k=3$ and the maximum is equal to $2$.

In the third test case, we can create array $a=[1,1,1,1,1,1,1,1]$. The sum is divisible by $k=8$ and the maximum is equal to $1$.

原题

CF——传送门

思路

我们把 $sum$ 表示为数组 $a$ 的和。因为 $sum$ 能被 $k$ 整除，所以令 $sum=num\cdot k$。同时又因为所有的 $a_i$ 都是正数，所以 $sum\ge n$。显然，$sum$ 的值越小，最大值 $a_{max}$ 就越小，所以我们需找到使得 $sum\ge n$ 成立的最小的 $num$，即 $\lceil \frac{n}{k}\rceil$。确定了 $num$ 的值后，$sum$ 的值也就确定了，即 $sum=num\cdot k$。
那么剩下的问题就是：和为 $sum$，长度为 $n$ 的数组，如何构造使得其中的最大值最小 ？对于这个问题，我们利用贪心的思想，在数组的 $n$ 个位置上逐个地填补 $1$，循环这个操作直至 $sum$ 拆成 $sum$ 个 $1$ 后全部被填补到数组里。通过这样的方式，我们总是可以构造出数组 $a$ ，它的和等于 $sum$，长度等于 $n$，最大元素的值等于 $\lceil \frac{s}{n}\rceil$ 。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using i64 = long long;
typedef long long ll;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    int t;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        i64 n, k;
        cin >> n >> k;
        i64 num = ceil(1.0 * n / k);
        i64 sum = num * k;
        i64 maxn = ceil(1.0 * sum / n);
        cout << maxn << '\n';
    }

    return 0;
}