洛谷 P3803 【模板】多项式乘法（FFT）

【模板】多项式乘法（FFT）

题目背景

这是一道多项式乘法模板题。

注意：本题并不属于中国计算机学会划定的提高组知识点考察范围。

题目描述

给定一个 $n$ 次多项式 $F (x)$ ，和一个 $m$ 次多项式 $G (x)$ 。

请求出 $F (x)$ 和 $G (x)$ 的卷积。

输入格式

第一行两个整数 $n, m$ 。

接下来一行 $n + 1$ 个数字，从低到高表示 $F (x)$ 的系数。

接下来一行 $m + 1$ 个数字，从低到高表示 $G (x)$ 的系数。

输出格式

一行 $n + m + 1$ 个数字，从低到高表示 $\cdot G(x)$ 的系数。

样例 #1

样例输入 #1

1 2
1 2
1 2 1

样例输出 #1

1 4 5 2

提示

保证输入中的系数大于等于 $0$ 且小于等于 $9$ 。

对于 $100\%$ 的数据： $\le n, m \leq {10}^6$ 。

原题

洛谷P3803——传送门

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

// NTT的特殊要求:模数P需满足P=k*2^m+1，例如常用的模数998244353=7*17*2^23+1
const int Mod = 998244353;
const int G = 3; // 998244353的原根为3
const int maxn = 1e6 + 6;

int QuickPow(int a, int k) // 快速幂
{
    int ret = 1;
    while (k)
    {
        if (k & 1)
            ret = 1LL * ret * a % Mod;
        a = 1LL * a * a % Mod;
        k >>= 1;
    }
    return ret;
}

int rev[3 * maxn];
inline void GetReverse(int len, int lg) // 获得二进制位的反转
{
    for (int i = 0; i < len; i++)
        rev[i] = 0;
    for (int i = 0; i < len; i++)
        rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (lg - 1));
}

void NTT(vector<int> &a, int dir)
{
    int len = a.size();
    for (int i = 0; i < len; i++)
        if (i < rev[i])
            swap(a[i], a[rev[i]]);
    int g = (dir == 1 ? G : QuickPow(G, Mod - 2));
    for (int stp = 1; stp < len; stp <<= 1)
    {
        int wn = QuickPow(g, (Mod - 1) / (stp << 1));
        int w = 1;
        for (int k = 0; k < stp; k++)
        {
            for (int even = k; even < len; even += stp << 1)
            {
                int odd = even + stp;
                int tmp = 1LL * w * a[odd] % Mod;
                a[odd] = (a[even] - tmp + Mod) % Mod;
                a[even] = (ll)(a[even] + tmp) % Mod;
            }
            w = 1LL * w * wn % Mod;
        }
    }
    if (dir == -1)
    {
        int inv = QuickPow(len, Mod - 2); // 乘法逆元
        for (int i = 0; i < len; i++)
            a[i] = 1LL * a[i] * inv % Mod;
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    // 以下代码实现了多项式f(x)和多项式g(x)相乘
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int lg = 0;
    int bound = 1; // 将多项式的系数扩充到2的整数次幂
    while (bound <= n + m)
    {
        bound <<= 1;
        lg++;
    }
    GetReverse(bound, lg);
    vector<int> f(bound, 0), g(bound, 0); // 数组大小开到bound(即结果多项式扩充后的大小)
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        cin >> f[i];
    }
    for (int i = 0; i <= m; i++)
    {
        cin >> g[i];
    }
    NTT(f, 1);
    NTT(g, 1);
    for (int i = 0; i < bound; i++)
    {
        f[i] = (1LL * f[i] * g[i]) % Mod; // 将相乘结果存储在f[]数组中
    }
    NTT(f, -1);
    for (int i = 0; i <= n + m; i++)
    {
        cout << f[i] << ' ';
    }

    return 0;
}