2020牛客暑期多校训练营（第六场） Harmony Pairs

原题
题目描述
设$S(x)$表示十进制表示下$x$的每位数字之和，当$S(A)$>$S(B)$时，(A,B)表示一个和谐对。（$1\le N\le 10$¹⁰⁰）
给定$N$，求满足$0\le A\le B\le N$的和谐对的数量，答案对$10$⁹$+7$取模。
样例
输入

100

输出

967

思路
因为$1\le N\le 10$¹⁰⁰，所以直接存储或者直接暴力都不行。
这时候我们会想到记忆化，而且输入的数字数位非常多，所以我们可以想到用树形DP做这道题。
首先我们会想到，$dp[pos][x][y][l1][l2]$表示考虑第$pos$个数字，$x$表示$S(A)$，$y$表示$S(B)$，$l1$表示前pos-1位数字$B$与$N$是否相等，$l2$表示前pos-1位数字$A$与$B$是否相等。
但是这样算出来的复杂度似乎有些问题。
因为我们并不要知道$A$与$B$具体各自的数字是多少，只需知道它们的差即可。
又因为它们的差值可能为负数，所以刚开始基准的数字至少要$9\times 100=900$，所以数组大小至少要$2\times 900=1800$。
因此，我们可以想到。$dp[pos][df][l1][l2]$表示考虑第$pos$个数字，$df$表示$S(A)-S(B)$，$l1$表示前pos-1位数字$B$与$N$是否相等，$l2$表示前pos-1位数字$A$与$B$是否相等。
这样就可以解决复杂度的问题。若还不理解，可以看看代码。
代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7,maxn=105;
char a[maxn];
int n,dp[maxn][maxn*20][2][2];
int dfs(int pos,int df,bool limit1,bool limit2)
{
	if(pos>=n)return df>1000;//大于基准表示S(A)>S(B),累加
	if(dp[pos][df][limit1][limit2]!=-1)return dp[pos][df][limit1][limit2];
	int x=limit1?(a[pos]-'0'):9,ans=0;
	for(int i=0;i<=x;i++)
	{
		int y=limit2?i:9;
		for(int j=0;j<=y;j++)
		    ans=(ans+dfs(pos+1,df+j-i,limit1&(i==x),limit2&(j==y)))%mod;
	}
	return dp[pos][df][limit1][limit2]=ans;//记忆化
}
int main()
{
	scanf("%s",a);n=strlen(a);memset(dp,-1,sizeof(dp));
	printf("%d",dfs(0,1000,1,1));//基准为1000
	return 0;
}