44、大数据中的矩阵处理与网络应用

大数据中的矩阵处理与网络应用

1. 数据库友好的数据处理

1.1 子采样随机哈达玛变换

对于整数 $r$ 和 $n = 2^p$（其中 $r < n$ 且 $p = 1, 2, 3, \cdots$），子采样随机哈达玛变换矩阵是一个 $r \times n$ 的矩阵，形式如下：
$\Theta = \frac{1}{\sqrt{r}} \cdot RHD$
其中：
- $D \in R^{n\times n}$ 是一个随机对角矩阵，其元素是独立的随机符号，即均匀分布在 ${\pm1}$ 上的随机变量。
- $H \in R^{n\times n}$ 是一个归一化的沃尔什 - 哈达玛矩阵。
- $R \in R^{r\times n}$ 是一个随机矩阵，它将一个 $n$ 维向量限制到 $r$ 个坐标上，这些坐标是从 $n$ 个坐标中无放回地均匀随机选取的。

设 $A \in R^{m\times n}$ 的秩为 $\rho$，对于满足 $0 < k \leq \rho$ 的整数 $k$，$0 < \varepsilon < 1/3$ 表示精度参数，$0 < \delta < 1$ 是失败概率，$C \geq 1$ 是一个常数。令 $Y = A\Theta^T$，其中 $\Theta$ 是一个 $r \times n$ 的 SRHT 矩阵，且 $r$ 满足：
$6C^2\varepsilon^{-1}\sqrt{k + \frac{8\log(n/\delta)}{\log(k/\delta)}} \leq r \leq n$
则以至少 $1 - \frac{\delta C