逆元巨详细解法（欧拉定理，费马小定理，扩展欧几里德算法，递推，递归）

  （ 应acm协会的以往的习惯，每届学长学姐都要给下一届的学弟们（对，我们的下一届没有学妹）讲一个知识点，菜菜的我没什么别的选择，只能硬着头皮给他们讲数论基础，历时整整一天半，终于把课件以及要讲的东西捋清楚了TVT。虽然真正讲课的时候 垮了，但是自己也真的把这些平常看着头大的定理理清楚了！！！）

好了进入正题：

一、欧几里德算法（这里直接供上ppt内容）

二、扩展欧几里德算法

这个算法其实就是用来解二元一次方程的一组满足方程的（x,y）。主要的思想就是通过迭代来找解，每次的结果都作为下一次的初始值，直到达到满足条件为止。至于那个二元一次方程则为：ax+by=gcd(a,b)   (ax+by=z)

此处引入一个引理：裴蜀定理：若ax+by = z，则 gcd（a，b）| z 。所以求出x，y以后再乘上  就是括号里方程的解了

（式子看起来比较高级，其实也很简单，把gcd（a，b）|z 换成另一种形式  应该就好理解了）

接下来就是扩展欧几里德算法的具体实现：

（这个图片上的内容其实就是从百度百科上复制下来的，因为挺好懂的也就没有再加什么注释了）

上代码：

//扩展欧几里得算法
long long  exgcd(long long  a,long long  b,long long  &x,long long  &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    long long  ret=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ret;
}

三、费马小定理（欧拉儿子定理）

费马小定理：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^(p-1)≡1(mod p )。

（欧拉定理：对于任意互素的a和n，有a^φ(n) ≡1(mod n ) 其中φ(n)指的是1~n中与n互质的数的个数，以下是对欧拉定理的理解）

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几个与逆元相关的定理到这就讲完了，接下来就进入正题！！！

逆元：（单纯理解就是一个数的倒数 a*b=1 b就是a的倒数 不过不能这么去记，貌似这样是不对的，想要科学官方的解释可以去百度百科搜）它是用来解决（a/b）%m （a很大，b也很大）这样的问题。由于带了除的模运算并没有对应的运算规则，所以就将其转换成 （a*b'）%m=((a%m)*(b'%m))%m 这里b'是b在mod m意义下的逆元。不过要注意：只有当b和m互质的时候才存在逆元。

那么逆元又应该怎么求呢？？？

方法一：扩展欧几里德算法    

原理：a∗b≡1(mod p)  =>  a∗b+k∗p=1  （把b看做x，k看做y，将此二元一次方程解出来一个解就好）

//求a在mod下的逆元，不存在逆元返回-1
long long  getInv1(int a,int mod){
    long long  x,y;
    long long  d=exgcd(a,mod,x,y);//上面提到的扩展欧几里德算法
    return d==1?(x%mod+mod)%mod:-1;//防止x小于0
}

方法二：费马小定理

              由费马小定理有  a^(p−1)≡1(mod p)   =>   a^(p−2)∗a≡1(mod p)   => a^(p−2)就是a在mod p意义下的逆元

//快速幂求a的p次方 (mod m)
long long qkpow(long long a,long long p,long long m)
{
    long long t=1,tt=a%m;
    while(p)
    {
        if(p&1)t=t*tt%m;
        tt=tt*tt%m;
        p>>=1;
    }
    return t;
}
long long getInv2(long long a,long long mod)
{
    return qkpow(a,mod-2,mod);
}

方法三：递归或 递推 （其中递推又称逆元的线性解法）

//求a关于p的逆元，注意:a要小于p，最好传参前先把a%p一下
long long getInv3(long long a, long long p) {
  return a == 1 ? 1 : (p - p / a) * getInv3(p % a, p) % p;
}

long long inv[9978];
void getInv4(long long mod)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<mod;i++)
        inv[i]=(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
//这里用的公式我并不是很懂，如果哪位大佬知道的话
//可以指教一下 OVO

好了到这就结束了，希望能给大家带来帮助