98、差分约束下的路径规划与优化

差分约束下的路径规划与优化

1. 差分约束下的规划基础

当 $n$ 个独立的双积分器被约束在一条直线上时，会得到一系列形如 (14.40) 的 $n$ 个方程。其中，$|a_i|$ 最大的 $i \in {1, \ldots, n}$ 决定了加速度范围为 $\ddot{s} \in [-\frac{1}{a_i}, \frac{1}{a_i}]$。动作 $u’$ 定义为 $u’ = u_i$，而 $j \neq i$ 时的 $u_j$ 可从其余 $n - 1$ 个方程中得出。

若 $\tau$ 是非线性的，(14.39) 式变为：
$$\ddot{s} = \frac{u_i}{\frac{d\tau_i}{ds} - \frac{d^2\tau_i}{ds^2} \dot{s}^2}$$
对于 $\frac{d\tau_i}{ds} \neq 0$ 的每个 $i$ 都适用。此时，集合 $U’(s, \dot{s})$ 会随 $S$ 变化。随着速度 $\dot{s}$ 增加，$U’(s, \dot{s})$ 非空的可能性降低，即形如 (14.43) 的所有方程存在解的可能性变小。在物理系统中，这意味着要保持在路径上需要过度急转弯，高速时可能需要超出 $[-1, 1]^n$ 的加速度 $\ddot{q}$。

这些思想同样适用于更复杂的系统。例如，对于机器人手臂，假设系统由 (13.142) 描述，通过将 $q$、$\dot{q}$ 和 $\ddot{q}$ 用 $s$、$\dot{s}$ 和 $\ddot{s}$ 表示，可推导出形如 (14.39) 的约束。直接代入 (13.142) 得到：
$$M(\tau(s)) \left(\frac{d^2\t