97、微分约束下的采样规划方法解析

微分约束下的采样规划方法解析

1. 状态反向投影

状态 $x \in X_{free}$ 的反向投影定义为：
$B(x) = {x’ \in X_{free} | \exists u \in U_d \text{ 使得 } x = f_d(x’, u)}$。

反向投影与反向时间受限可达集密切相关，可以看作是离散的单阶段版本，它表示通过在时间 $\Delta t$ 内应用常量动作 $u \in U_d$ 能够到达 $x$ 的状态。在实际应用中，计算边界集的过近似可能更可取，这可以通过近似反向投影来实现。在微分约束下，反向投影通常比之前考虑的情况更复杂。一种有用的简化方法是在定义 $B(x)$ 时忽略与障碍物的碰撞，也可以使用真实反向投影的简单边界体积。

2. 解耦规划方法

2.1 解耦大问题的不同方式

随着基于采样的算法和计算能力的不断提高，直接解决微分约束下的规划问题变得越来越可行。然而，在许多情况下，由于数值积分成本高、碰撞检测复杂以及高维状态空间中的复杂障碍物，计算此类解决方案仍然成本过高。解耦方法将大问题分解为更易于解决的模块，因此具有吸引力。

一个典型的解耦方法涉及四个模块：
1. 路径规划 ：使用运动规划算法找到无碰撞路径 $\tau : [0, 1] \to C_{free}$。
2. 路径转换 ：将 $\tau$ 转换为新路径 $\tau’$，以满足 $C$ 上的速度约束（如果有的话）。至少需要进行一些路径平滑处理。
3. 时间函数计算 ：为 $\