93、差分约束下的采样式路径规划

差分约束下的采样式路径规划

1. 差分约束下的采样规划基础

在差分约束下进行规划时，部分规划方法可能需要在状态空间 $X$ 上进行采样。在某些情况下，定义一个良好的采样准则或许较为直接，但生成满足该准则的最优样本可能颇具难度，甚至无法实现。为解决这一问题，一种有效的方法是在 $X$ 的坐标邻域内开展工作。这样能使流形呈现为 $\mathbb{R}^n$ 中的 $n$ 维区域，多数情况下该区域为矩形，进而可直接应用相关采样概念。不过，采样质量会受定义坐标邻域所采用的特定参数化方式影响。

2. 碰撞检测

高效的碰撞检测算法是基于采样的规划的关键要素。若 $X = C$，可直接运用特定的碰撞检测方法。当 $X$ 包含相位约束时，则需进行额外测试。这些约束通常是已知的，因此评估相对容易。然而，由于工作空间 $W$ 中的障碍物与配置空间 $C$ 中的障碍物之间存在复杂映射，对 $C$ 上的障碍物约束进行高效评估并非易事。

判断状态 $x$ 是否属于自由空间 $X_{free}$ 需执行以下操作：
1. 使用碰撞检测算法，确保 $\kappa(x) \in C_{free}$。
2. 检查 $x$，确保满足形如 $h_i(x) \leq 0$ 的其他约束条件。

理论上，应检查整个轨迹段，但实际中通常仅检查单个点，这种方式虽更高效，但从技术层面而言并不准确。

3. 系统模拟器

由于差分约束的存在，基于采样的规划需要一个新组件——系统模拟器。运动通过动作轨迹来表示，而碰撞检测和约束满足测试需在 $X$ 中进行，因此在规划过程中需频繁对系统 $\dot{x} = f (x, u)$ 进行积分