91、微分约束下的采样规划：可达性与离散时间模型解析

微分约束下的采样规划：可达性与离散时间模型解析

1. 微分约束规划的挑战

在处理具有微分约束的规划问题时，由于动量的存在，会面临诸多挑战。状态空间中可能存在大量区域位于 $X_{ric}$ 内，这些区域往往不值得探索，但目前尚无切实可行的方法来精确判断状态是否处于 $X_{ric}$ 中。而且，随着动量和环境复杂度的增加，这个问题会变得愈发棘手。

2. 可达性与完备性的初步概念

对于基于采样的规划算法，可达性和完备性是重要的初步概念。在之前的规划问题中，对 $C$ 空间的采样至关重要，要求采样序列具有稠密性，以便能任意接近 $C_{free}$ 中的任何点。然而，在微分约束下的规划更为复杂，因为解决方案是通过动作轨迹而非直接通过 $X_{free}$ 中的路径来表示。为了使基于采样的算法具有分辨率完备性，对动作轨迹空间的采样和搜索必须能在 $X_{free}$ 中形成一个稠密集合。

3. 可达集相关定义

3.1 可达集

假设不存在障碍物，即 $X_{free} = X$。设 $U$ 是时间区间 $[0, \infty)$ 上所有允许的动作轨迹集合。对于每个 $\tilde{u} \in U$，可以通过 (14.1) 式定义一个状态轨迹 $\tilde{x}(x_0, \tilde{u})$。从 $x_0$ 出发，通过对 $\tilde{u} \in U$ 进行积分得到的所有轨迹所访问的状态集合，称为从 $x_0$ 的可达集，记为 $R(x_0, U)$，其正式定义为：
[R(x_0, U) = {x_1 \in X | \exists\tilde{u} \in U \text{ 且 } \exist