87、微分约束下的规划与高级力学概念解析

微分约束下的规划与高级力学概念解析

1. 惯性矩阵的简化

惯性矩阵是一个对称的 3×3 矩阵，可表示为：
[
I(q) =
\begin{pmatrix}
I_{11}(q) & I_{12}(q) & I_{13}(q) \
I_{12}(q) & I_{22}(q) & I_{23}(q) \
I_{13}(q) & I_{23}(q) & I_{33}(q)
\end{pmatrix}
]
其中，对于 (i \in {1, 2, 3})，(I_{ii}(q)) 被称为转动惯量，具体表达式如下：
- (I_{11}(q) = \int_{A(q)} (r_2^2 + r_3^2) \sigma(r) dr)
- (I_{22}(q) = \int_{A(q)} (r_1^2 + r_3^2) \sigma(r) dr)
- (I_{33}(q) = \int_{A(q)} (r_1^2 + r_2^2) \sigma(r) dr)

其余元素定义为：对于 (i, j \in {1, 2, 3}) 且 (i \neq j)，惯性积 (H_{ij}(q) = \int_{A(q)} r_i r_j \sigma(r) dr)，且 (I_{ij}(q) = -H_{ij}(q))。

由于惯性矩阵的所有元素都依赖于方向 (q)，所以当物体旋转时，惯性矩阵会发生变化。不过，可以在物体 (A) 的本体坐标系中表示惯性矩阵，记为 (I)，它不依赖于 (A) 相对于平移坐标系的方向。原惯性矩阵可通过 (I(q) = RI) 恢复