85、微分约束下的规划与力学模型解析

微分约束下的规划与力学模型解析

1. 微分约束与相空间

在处理微分约束时，我们可以引入足够高维的相空间来消除导数。例如，当存在二阶约束时，可引入一个 3n 维的相空间，其中 $x = (q, \dot{q}, \ddot{q})$，这样像 $g(q, \dot{q}, \ddot{q}) = 0$ 的约束就可以表示为 $g(x) = 0$。然而，使用这种表示的问题在于，状态必须遵循约束表面，类似于遍历封闭运动链的解集。

相空间中定义的问题通常具有“漂移”这一有趣特性。对于某些 $x \in X$，不存在 $u \in U$ 使得 $f(x, u) = 0$。而在一些例子中，存在这样的动作，这些是无漂移系统，因为其约束不涉及动力学。在动力学系统中，由于动量的存在，不可能瞬间停止，这就是漂移的一种形式，比如高速行驶的汽车无法瞬间停止。

2. 线性系统

相空间被定义为一种能处理动力学的特殊状态空间后，根据数学形式对微分模型进行分类是很方便的。线性系统是研究最广泛的一类，特别是在控制理论中。这是因为线性代数中的许多强大技术可用于得出良好的控制律。

设 $X = R^n$ 为相空间，$U = R^m$（$m \leq n$）为动作空间。线性系统的状态转移方程可表示为：
$\dot{x} = f(x, u) = Ax + Bu$ (13.37)
其中 $A$ 和 $B$ 分别是 $n \times n$ 和 $n \times m$ 的常数实值矩阵。

示例 13.5（线性系统示例）
假设 $X = R^3$，$U = R^2$，则有：
$\begin{