84、微分模型与相空间：运动规划中的关键概念

微分模型与相空间：运动规划中的关键概念

1. 微分模型概述

微分模型在运动规划中扮演着重要角色，它可以描述各种物体的运动方式。常见的微分模型是基于在平面上滚动的轮子得到的，但实际上，通过考虑物体之间其他的接触方式，还能得到许多不同的微分模型。在机器人领域，操作过程中会产生许多有趣的微分模型。这些模型有时被归类为准静态模型，因为尽管物体在运动，但模型的某些方面将物体视为静态，这种模型在运动速度足够慢时通常是符合实际情况的。

2. 不同场景下的微分模型

2.1 推箱子模型

想象用一个差分驱动机器人在地板上推箱子，假设箱子是一个凸多边形，其一条边与机器人的前部接触，箱子与地板以及箱子与机器人之间都存在摩擦接触。当机器人缓慢移动时，动力学效应可以忽略不计，并且箱子只有在机器人移动时才能移动。

• 稳定推箱子 ：稳定推箱子是指机器人推动箱子时，箱子就像与机器人刚性连接一样移动。如果箱子滑动或旋转，则不被视为稳定推箱子。
• 运动约束 ：从差分驱动机器人的配置转换方程开始，为了保持稳定推箱子，需要对控制输入 (U) 施加约束。由于机器人向后移动会立即与箱子失去接触，所以只能向前移动，即速度 (s) 必须为正，并且 (s) 要足够小以符合准静态模型。旋转速率 (\psi) 的约束取决于摩擦模型、箱子的形状和被推动的特定边，这些约束会导致一个区间 ([a, b] \subseteq [-\pi/2, \pi/2])，其中 (a < 0) 且 (b > 0)，要求 (\psi \in [a, b])。这种约束组合产生的运动模型类似于杜