83、差分约束下的运动规划与模型分析

差分约束下的运动规划与模型分析

1. 差分约束下的规划基础

在许多问题中，不等式约束相对简单，可直接对动作空间 (U) 推导约束条件。例如，若 (u_1) 表示汽车的标量加速度，可能存在简单的边界约束，如 (|u_1| \leq 1)。有时，动作变量可能已在等式约束 (g(q, \dot{q}, u) = 0) 中被指定。当 (q) 固定且存在 (k) 个独立约束时，根据隐函数定理，可求解出 (\dot{q} = f(q, u))。若雅可比矩阵 (\frac{\partial(f_1, \ldots, f_n)}{\partial(u_1, \ldots, u_k)}) 在 (q) 处的秩为 (k)，则可通过动作在 (T_q(C)) 的 (k) 维超平面上实现任意速度。当 (k = n) 且 (U) 无不等式约束时，可通过选择 (u) 实现 (T_q(C)) 中的任意速度。

2. 轮式系统的运动学

2.1 简单汽车模型

简单汽车可看作在平面上运动的刚体，其构形空间 (C = R^2 \times S^1)，构形用 (q = (x, y, \theta)) 表示。设 (s) 为汽车的有符号速度，(\varphi) 为转向角，前后轴间距为 (L)。当转向角固定为 (\varphi) 时，汽车做圆周运动，半径为 (\rho)。

汽车运动可表示为以下方程：
(\begin{cases}
\dot{x} = f_1(x, y, \theta, s, \varphi) \
\dot{y} = f_2(x, y, \theta, s, \varphi) \
\dot{\theta} = f_3(x, y,