70、决策理论规划中的传感器与信息空间

决策理论规划中的传感器与信息空间

1. 线性传感模型

在决策理论规划中，传感器映射可以用线性模型来表示，其形式为：
[y = h(x) = Cx + W\psi]
这里 (y) 是传感器的观测值，(x) 是状态变量，(C) 和 (W) 是矩阵，(\psi) 是自然作用。一般情况下，(C) 和 (W) 甚至可能是奇异矩阵，但仍然可以得到线性传感模型。

1.1 奇异矩阵 (C) 的影响

假设 (W = 0)，如果 (C) 是奇异矩阵，就无法从单个传感器观测值直接推断出状态。这通常对应于从 (n) 维状态空间到 (Y) 的一个子集的投影，该子集的维数是 (C) 的秩。例如，若
[C =
\begin{bmatrix}
0 & 1 \
0 & 0
\end{bmatrix}
]
则 (y = Cx) 可得 (y_1 = x_2) 且 (y_2 = 0)。由于 (C) 的秩为 1，对于每个 ((x_1, x_2) \in X)，只能观测到 (x_2)。所以，在某些特殊情况下，奇异矩阵可以测量一些状态变量，而使其他变量不可见。对于一般的奇异矩阵 (C)，可以理解为传感器将 (X) 投影到某个 (k) 维子空间，其中 (k) 是 (C) 的秩。

1.2 奇异矩阵 (W) 的影响

如果 (W) 是奇异矩阵，这意味着自然的影响是有限的。自然可以扭曲传感器观测值的自由度是 (W) 的秩。

2. 简单投影传感器

可以通过观测 (X) 的特定坐标，同时使其他坐标不可见来定义几种常见的传感器模型。