66、传感器与信息空间：从历史信息空间到派生信息空间的探索

传感器与信息空间：从历史信息空间到派生信息空间的探索

1. 历史信息空间的定义与特性

历史信息空间（history I - space）是通过对不同阶段信息空间取并集来构建的。如果存在 $K$ 个阶段，历史信息空间可表示为：
[I_{hist} = I_0 \cup I_1 \cup I_2 \cup \cdots \cup I_K]
多数情况下，阶段数量并非固定，此时历史信息空间定义为所有 $k \in {0} \cup N$ 对应的 $I_k$ 的并集：
[I_{hist} = I_0 \cup I_1 \cup I_2 \cup \cdots]

历史信息空间与随时间变化的运动规划中的状态空间相关。它具有阶段依赖性，因为信息会随时间积累。在离散模型中，时间的概念通过阶段来隐式体现。可以将阶段索引 $k$ 想象成历史信息空间的一个“轴”。

不过，历史信息空间存在一个问题，即其 I - 状态可能会任意长，因为历史信息会随阶段数量线性增长。目前，可以将 $I_{hist}$ 抽象地看作另一种状态空间，暂时不考虑每个 $\eta \in I_{hist}$ 表示起来可能有多复杂。在很多情况下，存在简化信息空间的方法。

2. 规划问题的定义

规划问题直接在历史信息空间上定义，这使得它在很多方面看起来像一个普通的状态空间。但要记住，它是从无法获得完美状态观测的另一个状态空间推导而来的。

在之前，反馈计划被定义为状态的函数，而在这里，反馈计划是 I - 状态的函数。因为在计划执行过程中状态通常是未知的，而 I - 状态总是已知的，所以基于 I - 状态做决策是合理的。

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