59、决策理论规划：价值迭代与策略迭代解析

决策理论规划：价值迭代与策略迭代解析

在决策理论规划中，我们面临着在不确定性环境下寻找最优计划的挑战。这涉及到考虑不同的情况，如非确定性和概率性的不确定性。下面我们将详细探讨价值迭代和策略迭代这两种方法。

1. 价值迭代

价值迭代是一种通过迭代更新状态空间上的成本到目标值（cost-to-go values）来寻找最优计划的方法。

1.1 非确定性情况

在非确定性情况下，我们可以从阶段 $K$ 到阶段 $F = K + 1$ 计算所有最优一步计划的成本。通过一系列的推导，我们得到了以下重要的公式：
- 从阶段 $K$ 到阶段 $F$ 的最优成本计算公式为：
[G_{K}^ (x_{K}) = \min_{u_{K}} \max_{\theta_{K}} \left{ l(x_{K}, u_{K}, \theta_{K}) + G_{F}^ (f(x_{K}, u_{K}, \theta_{K})) \right}]
- 更一般地，给定 $G_{k + 1}^ $ 后，可以计算 $G_{k}^ $，其递推公式为：
[G_{k}^ (x_{k}) = \min_{u_{k} \in U(x_{k})} \left{ \max_{\theta_{k}} \left{ l(x_{k}, u_{k}, \theta_{k}) + G_{k + 1}^ (x_{k + 1}) \right} \right}]

1.2 概率性情况

在概率性情况下，我们同样可以通过类似的方法得到价值迭代的公式。
- 从阶段 $k$