49、运动规划中的值迭代与反馈规划详解

运动规划中的值迭代与反馈规划详解

1. 插值与连续动作空间

在运动规划里，插值是一项重要技术。通过重心细分，可将每个立方体划分为单纯形，使插值能在 $O(n \lg n)$ 时间内完成，而非 $O(2^n)$。对于一组采样点 $S$，插值区域 $R(S)$ 有着明确的定义：$x \in R(S)$ 当且仅当 $x$ 的所有插值邻点都在 $S$ 中。若用采样网格近似 $G^*$，随着采样分辨率提高，$X \setminus R(S)$ 的体积趋近于零。

当状态空间 $X$ 和动作空间 $U(x)$ 均为连续时，动态规划递推式 (8.56) 保持不变。但此时，最小值的求解变成了对不可数无限个选择的优化问题。解决方法有两种：
- 非线性优化技术 ：采用非线性优化技术从 $U(x)$ 中选取最优的 $u$，不过其效果很大程度取决于 $U(x)$、$X$ 和成本函数。
- 有限样本评估 ：从 $U(x)$ 中选取有限样本集来评估 (8.56)，最好选择能尽量降低离散度的样本。在某些情况下，可通过巧妙利用成本 - 到 - 目标函数的性质及其插值表示，排除一些不必要的动作。

2. 与反馈运动规划的联系

运用值迭代解决运动规划问题时，需考虑以下几个关键方面：
- 动作空间有界 ：为了能用有限样本集近似动作空间 $U(x)$，可将其限制为 $U(x) = {u \in R^n | |u| \leq 1}$。有时为提高性能，可仅考虑 $|u| = 1$ 或 $u = 0$ 的情况，但可能会出现数值不稳定问题。有限样本集应具有低离散度且