38、基础运动规划的扩展与混合空间应用

基础运动规划的扩展与混合空间应用

在机器人运动规划领域，有许多复杂的问题需要解决，涉及到多机器人协调、离散与连续空间混合等方面。下面将详细介绍相关的概念和方法。

固定路径协调

假设每个机器人 $A_i$ 被约束沿着路径 $\tau_i : [0, 1] \to C_i^{free}$ 运动，这个路径可以通过任何普通的运动规划技术计算得到。对于 $m$ 个机器人，定义了一个 $m$ 维的状态空间，称为协调空间，用于安排机器人沿着各自路径的运动，以避免碰撞。

协调空间 $X$ 被定义为 $m$ 维的单位立方体 $X = [0, 1]^m$。$X$ 的第 $i$ 个坐标表示路径 $\tau_i$ 的定义域 $S_i = [0, 1]$。状态 $x \in X$ 表示每个机器人的配置。在状态 $(0, \ldots, 0) \in X$ 时，每个机器人处于其初始配置；在状态 $(1, \ldots, 1) \in X$ 时，每个机器人处于其目标配置。任何连续路径 $h : [0, 1] \to X$，只要满足 $h(0) = (0, \ldots, 0)$ 和 $h(1) = (1, \ldots, 1)$，就能将机器人移动到其目标配置。

然而，在设计路径 $h$ 时，需要考虑机器人之间的碰撞问题，这形成了一个障碍物区域 $X_{obs}$，设计路径时必须避开该区域，即任务是设计 $h : [0, 1] \to X_{free}$，其中 $X_{free} = X \setminus X_{obs}$。

$X_{obs}$ 的定义如下：
每个圆柱体 $X_{ij}^{obs} = {(s_1, \ldots, s_m) \in X | A