24、格密码学的几何原理

格密码学的几何基础与应用
于 2025-10-25 09:37:53 发布
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分类专栏： 安全分析与设计精要 文章标签： 格密码学 几何原理 最短独立向量问题
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格密码学的几何原理

1. 引言

格密码学是当今数学密码学中最热门且发展迅速的领域之一。它受到关注有多个因素。理论上，格密码学有强大的最坏情况/平均情况安全保证；实践中，它非常通用，应用广泛，从简单高效的哈希函数到复杂强大的公钥密码原语，最近还发展出了全同态加密。而且，格密码学的一个重要特点是简单，大多数密码操作能用小数字的基本算术实现，许多密码构造有基于点格的直观几何解释。即使是新手，也能通过适度努力理解其潜在应用和底层数学原理。

格密码学是数学密码学中极具吸引力的领域，有坚实理论基础，在实践中也很有吸引力，可作为基于数论的传统解决方案的替代。其简单性是实际应用中潜在的吸引人之处，最基本的操作是模整数矩阵 - 向量乘法 $Ax \pmod{q}$，$q$ 通常是小整数，能轻松放入机器寄存器，基本操作无需任意精度算术的“大数”库就能高效实现。

虽然许多基于格的密码函数可用矩阵符号描述，但操作和隐藏的计算问题本质上是几何的。要真正理解格密码学及其安全原理，需探究底层格的几何结构。格的数学虽与传统密码学不同，但并不难理解，掌握基本概念后就很简单，因为几何直观且基于日常物理经验，很多概念可用图片说明。

本文将先介绍格、其几何结构和定义的计算问题，再探讨如何用这些简单几何对象构建密码函数。格密码学除了能高效实现，还因其通用性而有吸引力，近年来研究者用格解决了大量安全问题，如哈希函数、基于层次身份的公钥加密等。目前最新的成果是全同态加密，但本文不会介绍最复杂的应用，而是让读者掌握足够知识去阅读该领域的研究论文，文中还提供了广泛的参考书目。

2. 点格基础

格是 $n$ 维欧几里得空间中规则排列的点。最简单的格是 $\mathbb

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26、格密码学的几何应用：从基础到实践
bash7scripter的博客
10-27 18
本文深入探讨了格密码学在多个密码学应用中的几何解释与实践，涵盖哈希函数、伪随机生成器、承诺方案、公钥加密及基于身份的加密。通过几何视角，揭示了这些构造背后统一的数学原理，如SIVP、BDD和ADD问题的困难性，并分析了不同参数对安全性与效率的影响。文章还总结了各类应用的技术细节与优化方向，展望了格密码学在效率提升、安全性增强和应用拓展方面的未来发展趋势。
25、格密码学的几何原理与应用
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10-26 14
本文介绍了格密码学的几何原理及其在现代密码学中的应用。基于最短独立向量问题（SIVP）和最近向量问题（BDD）的困难性假设，文章阐述了格密码系统的构造原理，包括公钥与私钥的设计、加密解密过程以及安全性分析。重点讨论了随机格的两种主要分布Λ_q(A)和Λ_q^⊥(A)，其对偶关系及参数特性，并引入高斯误差分布D_α在构造中的作用。进一步，文章将格问题与单向函数的构造联系起来，分析了不同参数下函数的单射性和满射性，并给出了在经典和量子假设下单向函数的安全性归约。最后，概述了格密码学在单向函数、碰撞抵抗哈希函数、
【格密码学】【虚空】格密码学基础学习笔记（上）
qq_42557115的博客
02-16 1779
这里是我在飞书写给学弟学妹的格密码学基础，用相对通俗易懂的语言介绍了格密码学的基础知识和相关内容，部分内容其实并不是数学上的严谨可证，为了方便阅读将部分概念给通俗化了一些，使得不那么晦涩难懂，毕竟是初学者嘛，理解永远比抠字眼要重要
格密码（一）
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50、格理论与密码学相关问题探讨
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本博客深入探讨了格理论及其在密码学中的应用，涵盖了BDD问题、平滑参数、基约简算法、对偶格等核心概念。内容包括格理论的基础定理、相关密码学构造、基约简算法的实现与实验、子集和密码系统的原理与破解方法，以及多个与离散数学和密码分析相关的练习解析。博客还总结了格理论在现代密码学中的重要地位，并展望了其在未来量子计算和新兴技术中的应用潜力。
数学领域几何学的前沿进展
AI天才研究院
06-12 1070
几何学作为数学最古老的分支之一，在21世纪迎来了前所未有的发展高潮。本文旨在系统梳理几何学各主要分支的最新进展，特别关注那些具有深远理论意义和实际应用价值的突破性成果。我们将重点讨论微分几何、代数几何、几何分析、拓扑学、几何群论、计算几何以及几何深度学习等方向的前沿研究。文章首先介绍几何学各分支的基本概念和相互关系，然后深入探讨每个领域的前沿进展，包括核心理论突破、算法实现和实际应用。最后我们将展望几何学的未来发展方向和面临的挑战。微分几何(Differential Geometry)
43、基于格的密码学：概念、问题与算法
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本博客详细介绍了基于格的密码学的核心概念、相关数学问题以及主流密码算法。从格的定义、向量空间、正交性、幺模矩阵到循环格，深入探讨了格密码学的数学基础。重点分析了NTRU和GGH算法的原理及实现，并比较了它们的安全性与性能。此外，还讨论了格密码学在通信安全、云计算和物联网中的应用，以及面临的挑战与未来发展趋势。
格密码学习（三）
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corollary 必然的 convex 凸的
Lua非空判断方法[源码]
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本文详细介绍了在Lua中进行非空判断的几种方法，特别是针对table类型的变量。首先，文章指出了直接对nil值进行索引会导致异常的问题，并给出了一个简单的例子来说明如何避免这种情况。接着，文章讨论了如何判断一个table是否为空，指出不能简单地使用`#table == 0`的方式，而是应该使用`next(t) == nil`的方法。此外，文章还提到了`next`指令在LuaJIT中的优化问题，建议在非必要情况下少用。最后，文章简要介绍了如何判断一个字符串是否全部由空格组成，使用了正则匹配的方法。这些内容对于Lua开发者来说非常实用，能够帮助他们避免常见的错误。
JS表格转Excel实现[可运行源码]
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该文章详细介绍了如何使用JavaScript将HTML表格数据导出为Excel文件。内容涵盖了针对不同浏览器的兼容性处理，包括IE和非IE浏览器的不同实现方式。对于IE浏览器，使用ActiveXObject进行导出；对于非IE浏览器，则通过base64编码和数据URI方案实现。文章还提供了完整的代码示例，包括表格数据的处理、格式化和导出功能，支持文本和图片类型的数据导出。
图片转bin文件存储[项目代码]
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本文介绍了在OpenCV项目中如何将大量图片数据转换为二进制（bin）文件进行高效存储和读取的方法。作者在项目中遇到需要处理大量图片数据的问题，尝试了多种格式（如.mat、.txt、.yml）后发现效率较低。通过使用二进制文件存储，显著提升了读写速度。文章详细展示了使用OpenCV将图片写入二进制文件的代码示例，以及从二进制文件读取图片数据的实现方法。虽然该方法需要提前知道图片的尺寸和数量，但读写速度极快，适合处理大量图片数据。作者还提到可以通过换行符或终止符优化读取过程，但未深入探讨。
ROS视觉处理与色彩识别[项目源码]
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本文详细介绍了在ROS环境下进行视觉处理的基础步骤，特别是针对色彩识别的实现方法。内容涵盖了从摄像头驱动的安装与配置（如usb_cam驱动和image_view工具的使用），到创建功能包和编写图像处理节点（包括RGB图像回调函数、HSV色彩空间转换、二值化处理及形态学操作）。此外，还演示了如何在仿真环境中获取图像，并通过OpenCV实现红色和绿色物体的识别与追踪。最后，文章提供了完整的代码示例和编译运行步骤，帮助读者快速上手ROS视觉处理项目。
Anaconda安装与使用指南[项目源码]
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本文详细介绍了在Anaconda环境下安装和使用jupyter及numpy的步骤。首先，指导用户如何安装Anaconda并创建虚拟环境，然后详细说明了如何在虚拟环境中安装jupyter和numpy。接着，文章提供了多个numpy的练习示例，包括创建零向量、矩阵操作、归一化等。此外，还介绍了如何在Jupyter中完成numpy、pandas和matplotlib的例题，涵盖了从基础操作到实际应用的多个方面。最后，文章总结了实验过程中的经验，特别是在使用国内镜像源后下载速度的提升。
【动静障碍物】基于JPS算法（改进A）全局路径规划与DWA动态窗口局部避障的机器人自主导航混合控制算法（Matlab代码实现）
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【动静障碍物】基于JPS算法（改进A）全局路径规划与DWA动态窗口局部避障的机器人自主导航混合控制算法（Matlab代码实现）内容概要：本文介绍了一种结合改进A*算法的JPS（跳跃点搜索）全局路径规划与DWA（动态窗口法）局部避障的混合控制算法，用于机器人在动静态障碍物环境下的自主导航。该算法通过JPS优化全局路径搜索效率，提升路径规划速度，并结合DWA实现实时动态避障，增强了机器人在复杂动态环境中的适应性和安全性。整个系统在Matlab平台上进行了代码实现与仿真验证，展示了良好的路径规划效果与避障性能。; 适合人群：具备一定机器人学、自动控制或路径规划基础知识的研究生、科研人员及从事智能机器人开发的工程技术人员。; 使用场景及目标：①应用于移动机器人在静态与动态障碍共存环境中的自主导航任务；②为研究高效全局规划与实时局部避障的融合策略提供技术参考与实现案例；③支持Matlab仿真环境下的算法验证与优化。; 阅读建议：建议读者结合Matlab代码深入理解JPS与DWA的集成逻辑，重点关注算法在路径最优性、计算效率与避障实时性之间的平衡设计，可进一步扩展至多机器人系统或复杂地形场景的应用研究。
Lua中loadstring应用[源码]
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本文介绍了在Lua编程中使用loadstring函数解析字符串公式的方法，特别是在游戏开发中的应用。通过示例代码展示了如何解析包含动态变量的字符串，如属性键、操作符和技能等级等，并动态计算其值。文章详细说明了如何利用loadstring将字符串转换为可执行的Lua代码，并处理复杂的公式解析，如计算buff持续时间和属性加成。这对于需要动态处理游戏内文本和公式的开发者具有实用价值。
VINS-Fusion部署流程[项目源码]
11-24
本文详细介绍了VINS-Fusion的部署及启动流程。首先，系统需要安装Ubuntu16.04以上版本并配置ROS环境，同时安装OpenCV、Glog、Ceres等依赖库。其次，编译功能包并进行多线程编译。启动阶段需获取IMU数据和图像信息，通过模拟器启动VINS-Fusion并查看Rviz可视化效果。标定部分包括相机内参和外参的配置，以及回环检测的优化。最后，文章简要提及实机启动的步骤，包括飞控和相机驱动的安装，以及通过脚本启动VINS-Fusion的流程。
Lua table.concat函数详解[项目源码]
11-24
本文详细介绍了Lua中的table.concat函数，该函数用于连接表中数组部分的元素，并可通过参数指定分隔符、起始和结束位置。文章通过多个示例展示了不同参数组合下的函数行为，包括默认参数的使用、自定义分隔符、指定连接范围等。此外，文章还解释了为何table.concat比for循环更高效，特别是在处理大量字符串连接时，table.concat经过优化，能显著减少时间消耗。最后，文章强调table.concat不会改变原始表的结构，为开发者提供了安全的使用保障。
基于Python的深度学习回归模型实现与神经网络应用
11-24
深度学习作为人工智能的关键分支，依托多层神经网络架构对高维数据进行模式识别与函数逼近，广泛应用于连续变量预测任务。在Python编程环境中，得益于TensorFlow、PyTorch等框架的成熟生态，研究者能够高效构建面向回归分析的神经网络模型。本资源库聚焦于通过循环神经网络及其优化变体解决时序预测问题，特别针对传统RNN在长程依赖建模中的梯度异常现象，引入具有门控机制的长短期记忆网络（LSTM）以增强序列建模能力。 实践案例涵盖从数据预处理到模型评估的全流程：首先对原始时序数据进行标准化处理与滑动窗口分割，随后构建包含嵌入层、双向LSTM层及全连接层的网络结构。在模型训练阶段，采用自适应矩估计优化器配合早停策略，通过损失函数曲线监测过拟合现象。性能评估不仅关注均方根误差等量化指标，还通过预测值与真实值的轨迹可视化进行定性分析。 资源包内部分为三个核心模块：其一是经过清洗的金融时序数据集，包含标准化后的股价波动记录；其二是模块化编程实现的模型构建、训练与验证流程；其三是基于Matplotlib实现的动态结果展示系统。所有代码均遵循面向对象设计原则，提供完整的类型注解与异常处理机制。 该实践项目揭示了深度神经网络在非线性回归任务中的优势：通过多层非线性变换，模型能够捕获数据中的高阶相互作用，而Dropout层与正则化技术的运用则保障了泛化能力。值得注意的是，当处理高频时序数据时，需特别注意序列平稳性检验与季节性分解等预处理步骤，这对预测精度具有决定性影响。 资源来源于网络分享，仅用于学习交流使用，请勿用于商业，如有侵权请联系我删除！
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