59、图的守卫问题与反带宽问题研究

图的守卫问题与反带宽问题研究

1. 图的守卫问题

1.1 问题背景与定义

在图的守卫问题中，给定一个图 (G = (V, E))，将其划分为两个诱导子图 (G_R = (V_R, E_R)) 和 (G_C = (V_C, E_C))，满足 (V_R \cap V_C = \varnothing) 且 (V_R \cup V_C = V)。设 (|V_R| = n_1)，(V_R) 中的顶点为 ({v_1, v_2, v_3, \cdots, v_{n_1}})。对于任意顶点 (v \in V)，有如下一些定义：
- (N_R(v)) 是 (v) 在 (G_R) 中的开邻域，即 (N_R(v) = N(v) \cap V_R)。
- (N_C(v)) 是 (v) 在 (G_C) 中的开邻域，即 (N_C(v) = N(v) \cap V_C)。
- (N_R [v]) 是 (v) 在 (G_R) 中的闭邻域，即 (N_R [v] = N_R(v) \cup {v})。
- (N_C [v]) 是 (v) 在 (G_C) 中的闭邻域，即 (N_C [v] = N_C(v) \cup {v})。
- (G(S)) 是以 (S) 为顶点集的 (G) 的子图，其中 (S \subseteq V_R \cup V_C)。

同时，还有以下几个重要定义：
- 定义 1 ：若 (G_R) 是星图或轮图，对于每个顶点 (v_i \in V_R)，定义集合 (S_i = N_C(v_i))，其中 (1 \leq i \leq n_1)。
- 定义 2 ：