51、图论与覆盖数组的研究进展

图论与覆盖数组的研究进展

在图论和组合数学领域，关于有向图的核数以及覆盖数组的构造问题一直是研究的热点。下面将详细介绍相关的研究成果。

有向图核数的关系

对于无向图 (G)，存在着不同类型的核数，如核数 (\kappa_x)、无环核数 (\kappa_a)、强核数 (\kappa_s) 和弱核数 (\kappa_w)。它们之间存在着一定的关系：
- (\kappa_x \leq \kappa_w \leq \kappa_s)
- (\kappa_x \leq \kappa_a)

对于 (r) - 正则图 (G)（顶点数为 (n)），强核数有一个下限，即 (\kappa_s \geq \lceil n/r \rceil)。证明过程如下：设 (O \in O_s) 且 (K) 是 (G(O)) 的某个核。对于 (K) 中的任意顶点 (v)，其入边最多有 (r - 1) 条，所以 (|K| \geq \lceil n/r \rceil)。

循环图的强核问题

在研究循环图的强核问题时，我们首先给出循环有向图和循环无向图的定义。
- 循环有向图 ：(D(C_n(S)))，其中 (S \subseteq {1, 2, …, n - 1})，(n \geq 2)，顶点集 (V = {0, 1, 2, …, n - 1})，边集 (E = {(i, j))：存在 (s \in S) 使得 (j - i \equiv s (\text{mod } n)})。例如 (D(C_7(1, 2))) 就不存在核，这表明某些有向循环图可能没有核。
- 循环无向图