50、二分图与有向循环图中的核相关问题研究

二分图与有向循环图中的核相关问题研究

二分图的团宽度相关内容

类 M 的定义与基本性质

类 M 是集合 ${M^{(2)}_n : n \geq 1}$ 的遗传闭包。通过与某定理类比可证明，$M^{(2)}_n$ 的团宽度至少为 $n/4$，这表明类 M 中图形的团宽度是无界的。不过，类 M 并非无界团宽度的最小遗传类。

对于图 $M^{(2)} n$ 有另一种定义方式。设 $K {n,n}$ 是一个完全二分图，其一部分顶点为 $a_1, \cdots, a_n$，另一部分顶点为 $b_1, \cdots, b_n$。将 $K_{n,n}$ 的每条边 $a_ib_j$ 用一个新顶点 $c_{ij}$ 进行细分（即在边 $a_ib_j$ 上引入顶点 $c_{ij}$），得到的图记为 $M_{n,n}$，它与 $M^{(2)} n$ 是重合的。所以，类 M 中的每个图都是由二分图的每条边恰好细分一次得到的（或者是这种图的诱导子图）。在 $M {n,n}$ 中，将 $a_i$ 或 $b_i$ 类型的顶点称为黑色顶点，$c_{i,j}$ 类型的顶点称为白色顶点。

相关引理与证明

为了说明类 M 不是无界团宽度的最小遗传类，引入了一些符号：用 $C_n$ 表示长度为 $n$ 的无弦循环，$H_n$ 表示图 2（左）中的图。$S_k$ 表示不含 $(C_3, \cdots, C_k, H_1, \cdots, H_k)$ 且顶点度至多为 3 的二分图类，$M_k$ 是 $S_k$ 与 M 的交集。

• 引理 3 ：对于任意自然数 $k