49、大团宽二部图的构造与性质

大团宽二部图的构造与性质

1. 引言

团宽（Clique-width）是一个相对较新的图参数概念，它推广了另一个重要的图参数——树宽（Tree-width）。树宽的研究在文献中已有数十年历史，而团宽在某种意义上对树宽进行了推广，即有界树宽的图一定有界团宽。

这些图不变量之所以重要，是因为许多在一般情况下为NP难的问题，在限制到有界树宽或团宽的图上时，能够有多项式时间的解决方案。例如，Robertson和Seymour的著名结果表明，对于任何平面图H，存在一个整数N，使得不包含H作为子式的图的树宽至多为N。这意味着平面图构成了唯一的无界树宽的极小子式封闭图类。在这个类中，矩形网格起着特殊的作用，因为每个平面图都是某个足够大网格的子式，并且网格的树宽可以任意大，所以网格是大树宽图中唯一的“不可避免子式”。

在研究树宽时，限制在图的子式关系上是合理的，因为图的树宽不会小于其子式的树宽。但对于团宽来说并非如此，所以在研究团宽时，我们将限制条件改为诱导子图关系，因为图的团宽不会小于其任何诱导子图的团宽。封闭于诱导子图的图类家族比子式封闭的图类家族要丰富得多，我们认为大团宽的“不可避免诱导子图”集合比大树宽的“不可避免子式”集合更加多样化。本文将主要关注二部图。

最近，文献中已经发现了几种构造大团宽二部图的方法。本文将提出一个通用框架来开发此类构造，并利用它来获得关于这个主题的新结果。

2. 预备知识

本文中所有的图都是无向的，没有环和多重边。对于图G，我们用V(G)和E(G)分别表示其顶点集和边集。顶点v∈V(G)的邻域是与v相邻的顶点集合，v的度是其邻域的大小。对于二部图G = (V1, V2, E)，G的二部补图是二部图$\overl