45、彼得·温克勒披萨问题的解决方案

彼得·温克勒披萨问题的解决方案

在一场关于披萨分享的有趣博弈中，鲍勃负责将披萨切成大小不一定相等的若干片，随后他和爱丽丝轮流拿取披萨片，每次只能拿一片。首轮由爱丽丝选择任意一片，后续回合中，玩家只能选择与已被取走的披萨片相邻的切片，这一规则被称为“礼貌披萨协议”。那么，爱丽丝究竟能获得多少披萨呢？

问题背景与基本概念

• 原始谜题 ：早在1996年，丹·布朗提出了一个问题，即鲍勃是否能获得超过一半的披萨。实际上，鲍勃有办法确保自己得到一半的披萨，比如将披萨切成偶数片且每片大小相等。后来，彼得·温克勒发现，如果切割得当，鲍勃甚至能得到5/9的披萨，同时他猜想爱丽丝无论面对何种切割方式，都能获得4/9的披萨。
• 基本定义 ：
  • 披萨表示 ：鲍勃切割后的披萨可以用一个循环序列(P = p_0p_1 \cdots p_{n - 1})来表示，其中每片披萨(p_i)的大小为(\vert p_i \vert \geq 0)，(P)的大小定义为(\vert P \vert := \sum_{i = 0}^{n - 1} \vert p_i \vert)。
  • 回合类型 ：对于(1 < j \leq n)，如果一名玩家在第((j - 1))轮选择了切片(p_i)，而另一名玩家在第(j)轮选择了(p_{i - 1})或(p_{i + 1})，则第(j)轮被称为“移位”；否则，称为“跳跃”。
  • 策略类型 ：如果某个玩