29、高效带交换模式匹配的新算法

高效带交换模式匹配的新算法

1. 引言

模式匹配带交换问题（简称交换匹配问题）是经典模式匹配问题的一个研究较多的变体。该问题旨在找出长度为 $m$ 的模式 $P$ 在长度为 $n$ 的文本 $T$ 中，允许模式内进行不相交局部字符交换的所有出现位置。这里的 $P$ 和 $T$ 是从大小为 $\sigma$ 的同一有限字符集 $\Sigma$ 中抽取的字符序列。

1.1 问题定义

具体来说，如果通过必要时交换相邻的模式字符，能使模式与文本在位置 $j$ 处的子串相同，则称模式在位置 $j$ 处与文本交换匹配。所有交换必须是不相交的，即每个字符最多参与一次交换，且不允许交换相同的相邻字符。

1.2 应用场景

这个问题在实际应用中具有重要意义，如文本和音乐检索、数据挖掘、网络安全等领域。在生物计算中，特别是在分子生物学的翻译过程中，该问题也有重要应用，例如检测生物序列中 mRNA 的起始和终止密码子的可能位置，并找出与翻译的 mRNA 区域相关的侧翼区域的提示。

1.3 研究现状

交换匹配问题于 1995 年被提出。早期，Amir 等人针对字母集大小为 2 的情况，给出了时间复杂度为 $O(nm^{\frac{1}{3}}\log m)$ 的算法，并表明字母集大小大于 2 的情况可通过一定的开销（最初为 $O(\log^2\sigma)$，后在期刊版本中降至 $O(\log\sigma)$）转化为大小为 2 的情况。此外，他们还研究了一些特殊情况，可得到时间复杂度为 $O(m\log^2 m)$ 的算法。后来，他们又以 $O(n\log m\log\sigma)$ 的时间复杂度解决了该问题，这些