28、极性置换图：理论与算法解析

极性置换图：理论与算法解析

在图论领域，极性图和置换图是两个重要的概念。极性图推广了二分图、余二分图和分裂图，而置换图则是一类具有广泛理论应用的图。本文将深入探讨极性置换图的相关理论和算法，包括其定义、识别算法以及相关性质的证明。

1. 引言

许多图论问题可以表述为寻找顶点的划分，使得各个部分内部满足特定性质，同时部分之间的交互也满足其他性质。例如，各种着色和同态问题，以及矩阵划分问题。矩阵划分问题由Feder等人提出，要求将图的顶点集划分为子集$A_1, \ldots, A_k$，每个子集可以是团、独立集或任意类型，子集对之间的连接方式取决于给定的模式。当模式规定仅划分为团和独立集，且独立集之间完全相邻，团之间完全不相邻，其他情况无限制时，就得到了极性图。

极性图由Tyshkevich和Chernyak在1985年定义。如果一个图的顶点集可以划分为$A$和$B$，使得$A$诱导出一个完全多部图，$B$诱导出一个簇图（即完全图的不相交并），则该图为极性图，这种划分称为极性划分。极性图是自补图，包含了分裂图、二分图和余二分图等著名图类。如果$A$是一个独立集，则该图（和划分）称为单极性图。

识别极性图是一个NP完全问题。然而，“允许极性划分”可以用一元二阶逻辑表示，而不使用边集量化，因此具有有界树宽或有界团宽的极性图可以在多项式时间内识别。在本文中，我们证明了对于置换图，可以在多项式时间内判断其是否为极性图，并给出了一个$O(n + m^4)$时间的算法。

2. 定义和符号

我们的输入图是简单、有限且无向的。在第3节中，我们将使用有向图作为辅助工具。

设$G$是一个图，其顶点集记为$V(G)$，边集