27、合作网络的组合模型

合作网络的组合模型

1. 引言

随机图模型一直备受关注，在这类模型中，顶点会依次添加到图中，并按照一定规则与已有节点相连。例如Albert - Barabási模型，新节点与现有节点相连的概率与该节点的度成正比，这被称为优先连接。该模型旨在模拟互联网、社交网络等现实世界的图。不过，Albert - Barabási模型的优先连接规则定义并不明确。有一种严格的方法是引入随机多重图，它由随机森林构建而成，通过对顶点集进行划分并合并同一划分块中的顶点形成多重图。研究表明，这类图是无标度的，即其度分布渐近满足幂律，度为d的顶点比例渐近与$d^{-3}$成正比，并且满足Albert和Barabási提出的优先连接规则。

2. 加厚树

加厚树的概念是为了构建局部聚类但全局结构呈树状的无标度图模型，这与现实世界网络的观察结果相符，尤其适用于描述合作网络，在合作网络中通常存在强交互的小群体以及与其他群体的一些连接，虽然可能存在环，但通常较少，可忽略不计。

构建加厚树的步骤如下：
1. 生成平面定向递归树（PORT） ：
- PORT是一种有根的带标签树，从根节点开始，根节点标签为1，接着添加标签为2的节点到根节点。添加标签为3的节点时，有三种可能，两种是连接到根节点，一种是连接到另一个顶点，以$2/3$的概率连接到根节点。
- 归纳地，在第j步，新的标签为j的节点以与前一个节点出度k + 1成正比的概率连接到任意前一个节点。
- PORT的生成函数$y(z)=\sum_{n\geq1}y_n\frac{z^n}{n!}$（其中$y_n$表示大小为n的PORT的数量）满足微分方程$y’(z)=1