26、格雷码压缩与嵌入树的ISE支持研究

格雷码压缩与嵌入树的ISE支持研究

格雷码压缩

格雷码在数据压缩领域有着重要的应用。对于格雷码压缩，我们关注的是如何构造特定的格雷码，使其能诱导出超立方体图的子图，从而实现更高效的压缩。

一般维度下的格雷码构造

对于任意整数 (n \geq 1)，存在一个 (n) 位循环格雷码 (C_n)，使得 (GC_n \subseteq Q^ _{\lceil\log_2 n\rceil})。具体证明过程采用归纳法：
1. 基础情况 ：
- 当 (n = 2^d)（(d) 为整数）时，根据相关定理，结论成立。
- 当 (n = 1) 时，反射码 (\Gamma_1 = (0, 1)) 诱导出 (Q^ 0) 的子图。
- 当 (n = 3) 时，反射码 (\Gamma_3 = (000, 001, 011, 010, 110, 111, 101, 100)) 诱导出 (Q^ _2) 的子图。
2. 归纳步骤 ：
- 假设 (n = 2^d + k \geq 5)（(d > 1)，(1 \leq k < 2^d)），此时 (\lceil\log_2 n\rceil = d + 1)。
- 根据归纳假设，存在一个 ((n - 1)) 位格雷码 (C_{n - 1}) 诱导出 (Q^ {d + 1}) 的子图，且对于集合 (D = {k, \ldots, 2^d - 1}) 中的每个方向 (t)，过渡序列 (\tau(C_{n - 1})) 包含一个形如 ([t