20、高效图处理：从无限网格到区间与置换图

高效图处理：从无限网格到区间与置换图

无限网格中 10 个有序顶点的边简单回路

在研究无限网格中边简单回路问题时，我们旨在证明对于任意 10 个有序顶点，都存在一条边简单回路按指定顺序访问这些顶点。

为了证明 $k \geq 10$，最初需要测试网格上所有 10 个顶点的配置是否可行。但此类配置数量庞大，测试单个配置也需不少时间。因此，引入基于核心图概念的方法来减少待测试配置数量。

生成所有配置的简单策略是考虑在方格网格中放置 10 个点的所有可能性。不过，实际上只需考虑 10 个顶点的核心图（定义 4），并且这些核心图可按同构考虑（引理 4）。

可以确定，存在 10 个顶点的 $i$-核心的最小整数 $i$ 为 4，此时 4 - 核心的非无边连通分量是一个 4 - 环。由于引理 2，这样的核心总是可行的，因为所有顶点的外部度至少为 2。同时，由于网格拓扑结构，5 - 核心不存在。唯一的 6 - 核心（并非所有顶点外部度至少为 2）是一个 $2 \times 3$ 网格。所以，只需测试这个 6 - 核心以及 $\ell = 7, 8, 9, 10$ 时的所有 $\ell$-核心。生成待测试核心图的过程在算法 1 中详细说明。

算法 1：测试 10 个顶点的配置

1: for ℓ = 6 to 10 do
2:     generate a list Tℓ of all the internal graphs on ℓ vertices in an (⌊ℓ/2⌋ × ⌊ℓ/2⌋)-grid (modulo translations, symmetries,