37、反馈最大原理与二次控制系统非局部优化方法

反馈最大原理与二次控制系统非局部优化方法

在控制理论领域，反馈控制和优化方法是重要的研究方向。本文将详细介绍反馈最大原理（FMP）以及二次控制系统的非局部优化方法，包括相关概念、原理和实际应用示例。

反馈控制与采样解

反馈控制的概念源自有限维控制理论，它是一个任意单值映射 $u : [0, T] × P →[−1, 1]$。其作为系统控制信号的实现，是通过通常的克拉索夫斯基 - 苏博廷采样方案（欧拉多边形）完成的，该方案基于连续性方程的逐步积分，使用分段常数控制，并根据上一步的数据进行计算。

采样方案步骤如下 ：
1. 给定 $u$ 和区间 $[0, T]$ 的一个划分 $\pi = {t_k} {k = 0}^K$，其中 $t_0 = 0$，$t {k - 1} < t_k$，$k = 1, \cdots, K$，$t_K = T$。
2. 通过在区间 $[t_{k - 1}, t_k]$ 上对连续性方程进行逐步积分，计算多边形弧 $t \mapsto \mu_{\pi}^t [u] \in P$，公式如下：
- 当 $t \in [t_{k - 1}, t_k)$ 时，$\mu_{\pi}^t [u] = \mu_k^t$。
- 其中 $\mu_0 \equiv \theta$，$\mu_k = \mu(u_{t_{k - 1}}[\mu_{k - 1}^{t_k}])(t_{k - 1}, \mu_{k - 1}^{t_k})$，$\mu u $ 表示在控制 $u$ 下，从位置