25、求解具有非凸下层的双层优化问题

求解具有非凸下层的双层优化问题

1 引言

为了构建求解具有下层均衡的双层优化问题（BOPs）的数值方法，我们将其转化为标准优化问题。得到的问题是一个具有 D.C. 约束的全局优化问题。经典的凸优化方法无法全局求解非凸优化问题，因此，我们采用 A.S. Strekalovsky 开发的全局搜索理论（GST）来寻找简化后的单层问题的全局解。

2 非规范化双矩阵博弈及其性质

2.1 非规范化双矩阵博弈的定义

考虑一个非规范化的 2 人双矩阵博弈，与经典双矩阵博弈的区别在于标量参数 ξ1 和 ξ2。博弈的形式如下：
[
\begin{cases}
\langle y, B_1z\rangle \uparrow \max_{y}, y \in Y = {y \in \mathbb{R}^{n_1} | y \geq 0, \langle e_{n_1}, y\rangle = \xi_1 > 0} \
\langle y, B_2z\rangle \uparrow \max_{z}, z \in Z = {z \in \mathbb{R}^{n_2} | z \geq 0, \langle e_{n_2}, z\rangle = \xi_2 > 0}
\end{cases}
]
其中，$B_1$ 和 $B_2$ 是 $(n_1 \times n_2)$ 矩阵，$e_{n_1} = (1, \cdots, 1)$ 和 $e_{n_2} = (1, \cdots, 1)$ 是适当维度的向量。

2.2 纳什均衡点的定义

定义 1：若一对 $(y