92、图信号处理与图滤波详解

图信号处理与图滤波详解

1 图信号处理基础

1.1 拉普拉斯矩阵特征向量分析

在图信号处理中，拉普拉斯矩阵的特征向量具有重要意义。对于连通无向图，拉普拉斯矩阵 $L$ 有唯一的零特征值 $\lambda_0 = 0$，满足 $Lv_0 = \lambda_0v_0 = 0$，这是一个关于向量 $v_0$ 元素的齐次线性方程组。该方程组的解构成了 $L$ 的零空间，且其维度等于 $\lambda_0 = 0$ 的几何重数，所以这个零空间是一维的。因此，只需找到方程 (14.29) 的一个非平凡解，就能得到可能的特征向量 $v_0$ 的基。

从方程 (14.8) 可得：
[
[Lv_0] n = 0 \Rightarrow \sum {m | v_m \in N_n} A_{nm}(v_{0n} - v_{0m}) = 0
]
这表明任何常数向量都是方程 (14.29) 的解。由此得出一个令人满意的结论：与零特征值（频率）相关的特征向量是常数，这与经典信号处理理论中的情况一致。若对特征向量进行归一化，那么 $v_0$ 的每个元素都等于 $\frac{1}{\sqrt{N}}$。

以一个有 89 个顶点的协作图为例，图 14.8 直观地证实了基于拉普拉斯矩阵特征值的频率概念。一般来说，特征向量的平滑度会随着频率（特征值）的升高而降低。具体来看这个图所建模的网络，它有三个主要分支：左边一个、顶部一个和底部一个。

• 特征向量 $v_0$ ：当将其作为信号绘制在图上时，所有顶点都被涂成相同颜色，这验证了它的常数性。