91、图信号处理入门：从图移位算子到图傅里叶变换

图信号处理入门：从图移位算子到图傅里叶变换

1. 图连接性问题与解决方案

在图信号处理中，图的连接性往往意味着增加参数 ( T ) 以及更多的边。为了解决这个问题，同时又能很好地表示底层图，可以将一个顶点连接到其 ( K ) 个最近邻（根据具体情况将 ( K ) 设置为合适的值），并使用高斯分布对边进行加权。不过，这些方法需要一个合适的度量来评估图顶点中样本之间的预期相似性，而由于图信号可能出现在不同的领域，估计底层图的拓扑结构本身就是一个挑战。

2. 图移位算子（GSO）

在研究图信号处理系统时，与经典数字信号处理（DSP）类似的方法是定义基本算子，以此为起点设计更复杂的滤波系统。当考虑线性算子时，任何矩阵乘以表示为向量的图信号，产生的新信号样本是原信号样本的线性组合，这个矩阵就可以作为基本算子。

主要有两种突出的方法来选择基本算子：
- 代数信号处理（ASP）方法 ：使用邻接矩阵作为基本算子。以有向环图的邻接矩阵 ( C ) 为例：
[
C =
\begin{bmatrix}
1 \
1 \
\vdots \
1
\end{bmatrix}
]
对于信号 ( x = [x_0, x_1, \cdots, x_{N - 1}]^T )，有 ( Cx = [x_{N - 1}, x_0, \cdots, x_{N - 2}]^T \triangleq x^{\langle 1 \rangle} )，这表明结果信号对应于 ( x ) 的单位（循环）移位，也证实了有向环图可以看作离散时间域的图模型。因此，任意图的邻